рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Алгебра октав  

Алгебра октав

Оглавление


Введение

§1.Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

§2. Дополнительные сведения об октавах

2.1 Действия над октавами

2.2 Сопряженные октавы и их свойства

2.3.Некоторые тождества для октав

§3. Теорема Гурвица

3.1 Нормированные линейные алгебры

3.2 Теорема Гурвица

§4. Обобщенная теорема Фробениуса

Список литературы


Введение


Одному известному английскому философу-материалисту Д. Гартли принадлежало высказывание- "Поскольку слова могут быть сравнены с буквами, употребляемыми в алгебре, сам язык можно назвать одним из видов алгебры, и наоборот, алгебра есть не что иное, как язык, который особым образом приспособлен к объяснению величин всех родов… И вот, если все относящееся к языку имеет что-либо аналогичное в алгебре, то можно надеяться объяснить трудности, возникающие в теории языка, при посредстве соответствующих конкретных положений алгебры, в которой все ясно и признано всеми, кто сделал ее предметом своего изучения".

Предметом моего изучения является один из разделов не ассоциативной алгебры - алгебра октав.

Цель данной исследовательской работы- выявить сущность алгебры октав, а так же выявить, каким образом производятся действия над упорядоченной восьмеркой чисел, т.е. над (1, i, j, k, E, I, J, K).Не ассоциативные алгебры в настоящее время покрыты мифами экзотики. На самом деле ничего особенного, кроме потери ассоциативности, в них нет. Впрочем, эта потеря существенна. Если можно выразиться образно, то в космосе алгебр за ассоциативными уже ничего "живого" нет. Среди не ассоциативных алгебр наиболее известной является простейшая из них - алгебра октав. Или, иначе, четвертая алгебра Фробениуса, она же алгебра Кэли-Диксона.

Рассмотрим алгебраическое определение октавы.

Октавой - называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:



Здесь обозначены:

O - октава,

Q - кватернионы,

E - мнимая единица. .

Октавы во многих случаях уместно рассматривать как существенное расширение кватернионов. Так же как и кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля так же выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и для кватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Которое и использовалось Фробениусом.

Объектом данной дипломной работы являются гиперкомплексные числа.

Для октав, как и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания определены покомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимых единиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операцию умножения.

При использовании гиперкомплексных чисел и их исследовании часто встречается операция сопряжения.

Для октав определены две операции сопряжения - алгебраическое и векторное. Два других сопряжения - дуальное и скалярное не применимы в силу отсутствия в строении октав скалярной и дуальной мнимых единиц. При этом векторное и алгебраическое сопряжения совпадают. Октава, сопряженная заданной, образуется сменой знаков у компонент при всех мнимых единицах. Или, если ,обозначить октаву покомпонентно как


,


то сопряженная ей октава будет иметь вид:


.

§1. Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность


Определение. Алгеброй октав называется алгебра , если:

I. Алгебра - альтернативная линейная алгебра;

II. Тело кватернионов  есть подтело алгебры ;


III. е2 = -1 и е ≠ i, е ≠ j, е ≠ k;


IV.Всякая подалгебра альтернативной линейной алгебры , содержащая тело кватернионов и элемент е, совпадает с алгеброй .


1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав


Теорема 1. Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение K x K = (u,v), где К - множество кватернионов. По определению, (u1;v1) = (u2;v2) u1 = u2 v1 = v2.

Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам:


(u1;v1) + (u2;v2) = (u1 + u2 ; v1 + v2);

(u1;v1) * (u2;v2) = (u1u2 - v2v1 ; v2 u1 + v1 ū2).

 

Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра.

Сначала покажем, что (К x К, +) есть абелева группа.


1) ((u1;v1) + (u2;v2)) + (u3;v3) = (u1 + u2 ; v1 + v2) + (u3; v3) = ((u1 + u2) + u3; (v1 + v2) + v3) = (u1 +( u2 + u3); v1 + (v2 + v3)) = ((u1; v1) + (u2+ u3; v2+ v3) = (u1; v1) + ((u2; v2) + (u3; v3)),


т.е. сложение в (К х K, +) ассоциативно.


2) (u1; v1) + (u2; v2) = (u1 + u2 ; v1 + v2) = (u2 + u1; v2 + v1) = (u2; v2) + (u1; v1),


т.е. сложение в (К х K, +) коммутативно.

3) Решим уравнение


(u; v) + (x; y) = (u; v);

(u+ x; v+ y) = (u; v)  u+ x = u^ v+ y= v ; x = 0, y = 0 ,т.е. (x; у) = (0;0).


Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0U.

4) Решим уравнение


(u; v) + (x; y) = (0; 0):

(u+ x; v+ y) = (0; 0) u+ x = 0^ v+ y= 0  x = - u ^ y = - v, т.е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v).


Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.

5) Покажем, что умножение в  дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа.

С одной стороны:


((u1; v1) + (u2; v2))  (u3; v3) = (u1 + u2 ; v1 + v2)  (u3; v3) = ((u1 + u2) u3 - 3(v1 + v2); v3(u1+u2)+ (v1 + v2)ū3) = (u1 u3 + u2 u3 - 3v1 - 3v2; v3u1+ v3u2+ v1 ū3 + v2ū3).


С другой стороны:


(u1; v1)  (u3; v3) + (u2; v2)  (u3; v3) = (u1u3 - 3v1; v3u1 + v1ū3)+(u2 u3 - 3v2; v3u2+ v2ū3)=(u1 u3 - 3v1 + u2 u3 - 3v2; v3u1 + v1ū3 + v3u2+ v2ū3).


Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,


((u1; v1) + (u2; v2))  (u3; v3) = (u1; v1)  (u3; v3) + (u2; v2)  (u3; v3),


т.е. умножение в  дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:


(u3; v3)  ((u1; v1) + (u2; v2)) = (u3; v3)  (u2; v2) + (u3; v3)  (u1; v1).


Действительно, с одной стороны:


(u3; v3)  ((u1; v1) + (u2;v2)) = (u3; v3) v (u2+ u1 ; v1 + v2) = (u3 (u1 + u2); ()v3;

(v1+ v2)u3+ v3())= (u3 u1 + u3u2 -1v3 - 2v3; v1 u3 + u2 u3+ v3ū1+ v3ū2);


с другой стороны:


(u3; v3)  (u1; v1) +(u3; v3)  (u2; v2) = (u3 u1 - 1v3; v1 u3 + v3ū1)+ (u3 u2 - 2v3; v2 u3 + v3ū2)= (u3 u1 - 1v1 + u3 u2 - 2v3; v1 u3 + v3ū1 + v2 u3 + v3ū2).


Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в  дистрибутивно слева относительно сложения .

6) Покажем, что умножение в  не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:


((u1; v1)  (u2; v2))  (u3; v3) = (u1 u2 - 2v1; v2 u1 + v1 ū2)  (u3; v3) = ((u1 u2 - 2v1)u3 -3(v2 u1 + v1ū2);

v3(u1 u2 - 2v1) - (v2 u1 + v1ū2) ū3) = (u1 u2 u3 - 2v1u3 -3v2 u1 -3v1ū2; v3u1u2 - v32v1 - v2 u1 ū3 - v1ū2 ū3).


С другой стороны:


(u1; v1)  ((u2; v2)  (u3; v3)) = (u1; v1)  (u2u3 - 3v2; v3u2 + v2ū3) = (u1 (u2u3 - 3v2) - v1;

v1+ (v3u2 + v2ū3) u1) = (u1u2u3 - u13v2 -v1 - u32v1; v1- v12v3 + v3u2 u1 + v2ū3 u1).


Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что


((u1; v1)  (u2; v2))  (u3; v3) ≠ (u1; v1)  ((u2; v2)  (u3; v3))


т.е. умножение в  не ассоциативно.

7)      Рассмотрим произведения:


(u1;v1)  (u2;v2) = (u1u2 - 2v1 ; v2 u1 + v1 ū2);

(u2;v2)  (u1;v1) =(u2u1 - 1v2 ; v1 u2 + v2 ū1).

 

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что


(u1;v1)  (u2;v2) ≠ (u2;v2)  (u1;v1)


т.е. умножение в  не коммутативно.

8)      Покажем, что имеет место равенство


((u1; v1)  (u2; v2))  (u2; v2) = (u1; v1)  ((u2; v2)  (u2; v2))


Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:


((u1; v1)  (u2; v2))  (u2; v2) = (u1 u2 - 2v1; v2 u1 + v1 ū2)  (u2; v2) = ((u1 u2 - 2v1)u2 -2(v2 u1 + v1ū2);

v2(u1 u2 - 2v1) - (v2 u1 + v1ū2) ū2) = (u1 u2 u2 - 2v1u2 -2v2 u1 -2v1ū2; v2u1u2 - v22v1 - v2 u1 ū2 - v1) = (u1 u2 u2 - 2v1 (u2 + ū2) - |v2|2 u1; v2u1 (u2 + ū2) - v1- |v2|2v1) .


Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:


(u1; v1)  ((u2; v2)  (u2; v2)) = (u1; v1)  (u2 u2 - 2v2; v2 u2 + v2 ū2) = (u1(u2 u2 - 2v2) -()v1;

v1 () + (v2 u2 + v2 ū2) u1) = (u1u2 u2 - u12v2 -v1 - u22v1;

v1- v12v2 + v2 u2 u1+ v2 ū2 u1) = (u1 u2 u2 - (u2 + ū2) 2v1 - u1|v2|2; (u2 + ū2) v2u1 + v1 - v1|v2|2).

Здесь следует учитывать, что 2v2 = v22 = |v2|2 и u2 + ū2 - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.

9) Покажем, что имеет место равенство


(u2; v2)  ((u2; v2)  (u1; v1)) = ((u2; v2)  (u2; v2))  (u1; v1).


Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:


(u2; v2)  ((u2; v2)  (u1; v1)) = (u2; v2)  (u2u1 - 1v2; v1 u2 + v2 ū1) = (u2(u1 u2 - 2v1) - v2;

(v1 u2 - v2 ū1) u2 + v2 ) = (u2u1 u2 - u21v2 -v2 - u12v2; v1u2u2 + v2 ū1 u2 + v2 - v22v1) = (u2u1 u2 - u1 |v2|2 - (u2 + ū2) 1v2; v1u2u2 + v2 ū1(u2 + ū2) - |v2|2 v1).


Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:


((u2; v2)  (u2; v2))  (u1; v1) = (u2 u2 - 2v2; v2 u2 + v2 ū2)  (u1; v1) = ((u2 u2 - 2v2) u1 - 1(v2 u2 + v2 ū2);

v1(u2 u2 - 2v2) + (v2 u2 + v2 ū2) ū1) = (u2 u2 u1- 2v2 u1 - 1v2 u2 - 1v2 ū2; v1u2 u2 - v12v2 + v2 u2 ū1 + v2) = u2 u2 u1 - 1v2(u2 + ū2) - |v2|2u1; v1u2 u2 - v1 |v2|2+ v2 ū1 (u2+ ū2).


Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.

Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в  альтернативно.

10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в  решим уравнение:


(u; v)  (x; y) = (u; v),


в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ≠ 0. Тогда:


(u; v)  (х; у) = (u; v) (хu - y; уи + v) = (и; v)


Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=,откуда:


(u-1  u) x = u-1v+ u-1ux = v  =1+  уи.


Подставим полученное значение  во второе уравнение системы:


v(1+ уи) + уи = vv+ v уи+ уи = vуи+уи=0 (+1)уи=0,


откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда  = 0 и из первого уравнения системы

их = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в .

В случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение .системы имеет вид v = v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к тому же решению.

Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в  решим уравнение:


(х; у)  (u; v) = (u; v),


в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0U и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда:


(х; у)  (и; v) = (и: v)  (хи - y; vх - уū) = (и; v)


Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=, откуда:


x(uu-1) = y+ u*u-1 x = 1+ 2yū,


Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:


v(1+ 2yū) + уū= vv + 2 vyū + уū= vyū+ уū= 0 (+ 1)уū =0,


откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в . Обозначим (1; 0) = 1U,

11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:


(u; v)  (х: у) = (1; 0)  (их - v; уи+ v) = (1; 0)


Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=2, откуда:


(u-1u) x = u-1v + u-1 x =2+2v  = 2 + 2yu.


Подставим полученное значение  во второе уравнение системы:


v + + уи= 0  2 + 2 vyu + уи= 0 (|u|2 + |v|2) yu = - vu  (|u|2 + |v|2) y = - v,


откуда


у = - .


Тогда из второго уравнения системы


v- u =0v-  =0 =   x= .


Итак, пара


(x; y) = ; -


является правым обратным элементом для элемента (u; v) в .

Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в  решим уравнение:


(х; у)  (u; v) = (1; 0),


в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:


(х; у)  (u; v) = (1; 0)  (xu - y; vx + yū) = (1; 0)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5


© 2010.