рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

* Алгебры и их применение  

* Алгебры и их применение

*-Алгебры и их применение

Дипломная работа специалиста

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского

Симферополь 2003

Введение

Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P2

P2 = С < p1, p2 | p12 = p1* = p1, p22 = p2* = p2 >,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:

4 одномерных: π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;

π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.

И двумерные:  * Алгебры и их применение ,  * Алгебры и их применение τ  * Алгебры и их применение (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р1+Р2 или А = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).

Глава I. Основные понятия и определения

§ 1.  * Алгебры и их применение- алгебры

Определение  * Алгебры и их применение- алгебры.

Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб- рой, если:

А есть линейное пространство;

в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет- воряющая следующим условиям:

α (x y) = (α x) y,

x (α y) = α (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z  * Алгебры и их применение А и любых чисел α.

Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере- становочны.

Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x* алгебры А в А, что

(x*)* = x;

(x + y)* = x* + y*;

(α x)* =  * Алгебры и их применение x*;

(x y)* = y*x* для любых x, y  * Алгебры и их применение С.

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само- сопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.

1.2. Примеры

На А = С отображение z → * Алгебры и их применение (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре- рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество t * Алгебры и их применениеT: компактно, f (t)  * Алгебры и их применение А. Снабжая А отображением f→ * Алгебры и их применение получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А* (А * Алгебры и их применениеК(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S * Алгебры и их применение H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов  * Алгебры и их применение.

Алгебра W есть *- алгебра, если положить  * Алгебры и их применение. ( * Алгебры и их применение)

1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех х * Алгебры и их применениеА (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А.

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то

е΄х = хе΄ = х, для всех х * Алгебры и их применениеА (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:

ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.

 * Алгебры и их применениеДоказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, х * Алгебры и их применениеА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами:

β(αе + х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1 + α2)е + (х1 + х2),

(α1 е + х1)(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х2 +α2 х1 + х1 х2 (1.3.)

Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде

х΄ = αе + х, х * Алгебры и их применениеА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х * Алгебры и их применениеА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0.

 * Алгебры и их применениеАлгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), х * Алгебры и их применениеА, в которой основные операции определяются по формулам:

β (α, х) = (βα, βх), (α1, х1) + (α2, х2) = (α1 + α2, х1 + х2),

(α1, х1)(α2, х2) = (α1α2, α1х2 + α2 х1 + х1х2), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х * Алгебры и их применениеА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,

так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.

Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х.

1.4. Простейшие свойства  * Алгебры и их применение- алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого х * Алгебры и их применениеА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z * Алгебры и их применениеC  * Алгебры и их применение, но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде  * Алгебры и их применение.

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2 – эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:

 * Алгебры и их применение,  * Алгебры и их применение (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.

Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что хх* = х12 + х22 + i(х2х1 – х1х2),

хх* = х12 + х22 - i(х2х1 – х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив  * Алгебры и их применение при х * Алгебры и их применениеА, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и

(х*)-1 = (х-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х-1х = хх-1 = е,

получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.

Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А1 алгебры А называется *-подалгеброй, если из х * Алгебры и их применениеА1 следует, что х* * Алгебры и их применениеА1 .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S * Алгебры и их применение А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1 * Алгебры и их применениеВ.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1 * Алгебры и их применениеВ.

Определение 1.6. Элемент х * Алгебры и их применениеА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,y * Алгебры и их применениеА, α * Алгебры и их применениеС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

I ≠ A;

Из х, y * Алгебры и их применениеI следует x + y  * Алгебры и их применениеI;

Из х * Алгебры и их применениеI, а α * Алгебры и их применениеА следует α х * Алгебры и их применениеI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-y * Алгебры и их применениеI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х * Алгебры и их применениеI следует х* * Алгебры и их применениеI.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-y * Алгебры и их применениеI, то х*-y* * Алгебры и их применениеI. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.

Обратно, отображение х → [х] каждого элемента х * Алгебры и их применениеА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

π (x+y) = π (x) + π (y), π (α x) = α π(x),

π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)*

для любых х, y  * Алгебры и их применение А и α  * Алгебры и их применение С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.

Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого х * Алгебры и их применениеА, то есть

U π1(х) = π2(х) U для всех х  * Алгебры и их применение А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех х * Алгебры и их применениеА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н1 * Алгебры и их применениеН называется инвариантным, относительно представления π, если π (А)Н1 * Алгебры и их применениеН1.

Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х * Алгебры и их применениеА) можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры А в Н1.

Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех g * Алгебры и их применениеН1. Тогда для любого х * Алгебры и их применениеА (π(х)f, g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*)g) = 0, так как π(х*)g * Алгебры и их применениеН1. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1 * Алгебры и их применениеН1.

Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и f * Алгебры и их применениеН1, но также π(х)f  * Алгебры и их применениеН1. Отсюда для любого вектора f * Алгебры и их применениеН

π(х)Р1f  * Алгебры и их применениеН1

следовательно, Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,

то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р1π(х)Р1 = Р1π(х).

Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f * Алгебры и их применениеН1

Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;

Следовательно, также π(х)f  * Алгебры и их применениеН1. Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост- ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f1 + … + fn, где f1, …, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi)i * Алгебры и их применениеI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Нi (i * Алгебры и их применениеI). Пусть

|| πi (х) || ≤ сх

где сх – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Нi, то есть Н =  * Алгебры и их применениеНi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует πi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений πi и обозначаемое  * Алгебры и их применениеπi или π1 * Алгебры и их применение….. * Алгебры и их применениеπn в случае конечного семейства представлений (π1…..πn). Если (πi)i * Алгебры и их применениеI – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления  * Алгебры и их применениеπi обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f0 ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.

Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через М совокупность всех систем {Нα}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нα} * Алгебры и их применениеМ будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Нα}. Но тогда Н= * Алгебры и их применениеНα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-( * Алгебры и их применениеНα) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нα} * Алгебры и их применениеН0 * Алгебры и их применениеМ, содержащую максимальную систему {Нα}, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление π неприводимо. При f * Алгебры и их применениеН, f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х)f , х * Алгебры и их применениеА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

α  * Алгебры и их применениеC инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни- ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое, что E(λ) =0 при λ<λ0 и E(λ) =1 при λ>λ0 . Отсюда

В= * Алгебры и их применениеλ dE(λ) = λ0 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста- новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,

В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В1= * Алгебры и их применение, В2= * Алгебры и их применение также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н → Н΄ такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого х * Алгебры и их применениеА, называется оператором сплетающим π и π΄.

Пусть Т : Н → Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т* : Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как

Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*

Отсюда получаем, что

Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого х * Алгебры и их применениеА

Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.)

Если, кроме того,  * Алгебры и их применение= Н΄, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.

Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π1 * Алгебры и их применение….. * Алгебры и их применениеπn , где πi неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄  * Алгебры и их применение π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π1 * Алгебры и их применение….. * Алгебры и их применениеπn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ1, ρ2 – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1 и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi . Итак, перегруп- пировав πi , получаем, что π = ν1 * Алгебры и их применение….. * Алгебры и их применениеνm, где каждое νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных νi΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ1ν1΄ * Алгебры и их применение….. * Алгебры и их применениеρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρi и классы представлений νi΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: Т * Алгебры и их применениеВ, Ø * Алгебры и их применениеВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))t * Алгебры и их применениеT, Г), где (H(t))t * Алгебры и их применениеT – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г – векторное подпространство  * Алгебры и их применениеН(t);

существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого t * Алгебры и их применениеT элементы хn(t) образуют последовательность H(t);

для любого х * Алгебры и их применениеГ функция t→||x(t)|| μ – измерима;

пусть х – векторное поле; если для любого y * Алгебры и их применениеГ функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то х * Алгебры и их применениеГ.

Пусть ε = ((H(t))t * Алгебры и их применениеT, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если х * Алгебры и их применениеГ и  * Алгебры и их применение||x(t)||2 dμ(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λ * Алгебры и их применениеС) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) =  * Алгебры и их применение(x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое  * Алгебры и их применениеx(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))t * Алгебры и их применениеT, Г) – измеримое поле гильбер- товых пространств на Т. Пусть для любого t * Алгебры и их применениеT определен оператор S(t) * Алгебры и их применениеL(H(t)). Если для любого х * Алгебры и их применениеT поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т, t→Н(t) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого t * Алгебры и их применениеT задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого х * Алгебры и их применениеА поле операторов t→π(t)х измеримо.

Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого х * Алгебры и их применениеА можно образовать непрерывный оператор π(х)= * Алгебры и их применениеπ(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост- ранстве Н = * Алгебры и их применениеН(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, y * Алгебры и их применениеА имеем

π(х+y) =  * Алгебры и их применениеπ(t) (x+y) dμ(t) =  * Алгебры и их применение(π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) = * Алгебры и их применениеπ(t) (x )dμ(t) +

+ * Алгебры и их применениеπ(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)

Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π = * Алгебры и их применениеπ(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t) * Алгебры и их применениеL(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н= * Алгебры и их применениеН(t)dμ(t).

Пусть ε = ((H(t))t * Алгебры и их применениеT, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)= * Алгебры и их применение. Тогда отображение, которое каждому х * Алгебры и их применениеН== * Алгебры и их применениеН(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1= * Алгебры и их применениеН(t) dμ1(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.

Действительно,

|| * Алгебры и их применениеρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 =  * Алгебры и их применение||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) =  * Алгебры и их применение||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н = * Алгебры и их применениеН(t) dμ(t) , π1== * Алгебры и их применениеπ(t )dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 – мера на Т, эквивалентная μ,

Н1 = * Алгебры и их применениеН(t) dμ1(t) , π1 = * Алгебры и их применениеπ(t) dμ1(t),

Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1.

Доказательство. Пусть ρ(t)= * Алгебры и их применение. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х = * Алгебры и их применениеx(t) dμ(t) * Алгебры и их применениеН в

Ux =  * Алгебры и их применениеρ-1/2х(t) dμ1(t).

Пусть α  * Алгебры и их применениеА. Имеем

π1(α)Ux =  * Алгебры и их применениеπ(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = U * Алгебры и их применениеπ(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,

поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если S * Алгебры и их применениеД, то аналогично SUx = USx, для любого х * Алгебры и их применениеН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские пространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1 соответственно; ε = ((H(t))t * Алгебры и их применениеT, Г), Z1 = ((H1(t1))t1 * Алгебры и их применениеT1, Г), - μ-измеримое и μ1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1; η-изоморфизм ε на ε1 называется семейство (V(t))t * Алгебры и их применениеT, обладающее следующими свойствами:

для любого t * Алгебры и их применениеT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t));

для того, чтобы поле векторов t→x(t) * Алгебры и их применениеH(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t)  * Алгебры и их применениеН1(η(t)) на Т1 было μ1-измеримо.

Отображение, переводящее поле х * Алгебры и их применениеН = * Алгебры и их применениеН(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t)  * Алгебры и их применениеН1 =  * Алгебры и их применениеН1(t) dμ1(t) , есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый  * Алгебры и их применениеV(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),

Н = * Алгебры и их применениеН(t) dμ(t), π == * Алгебры и их применениеπ(t) dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H1(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1.

Предположим, что существует:

N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;

борелевский изоморфизм η: TN →TN1, преобразует μ в μ1;

η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (t * Алгебры и их применениеZN) на поле t1→Н1(t1) (t1 * Алгебры и их применениеТ1N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.

Тогда V = * Алгебры и их применениеV(t)dμ(t) преобразует Д в Д1 и π в π1.

Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные операторы в Н(t) и Н1(t1). Если f * Алгебры и их применениеL∞(T, μ) и если f1 – функция на Т1N1, получаемая из f|(TN) при помощи η, то V преобразует  * Алгебры и их применениеf(t)It dμ(t) в  * Алгебры и их применениеf1(t1) It1 dμ1(t1), поэтому V преоб- разует Д в Д1. С другой стороны, пусть α * Алгебры и их применениеА и х =  * Алгебры и их применениех(t) dμ(t) * Алгебры и их применениеН.

Тогда

Vπ(α)х = V * Алгебры и их применениеπ(t)(α) х(t) dμ(t) =  * Алгебры и их применениеV(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1)) dμ1(t1) =  * Алгебры и их применениеπ1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1 (α) V х

Поэтому V преобразует π в π1.

Приведем примеры прямых интегралов.

Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств  * Алгебры и их применение и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого n * Алгебры и их применениеN. Тогда

 * Алгебры и их применениеН(n) dμ(n) =  * Алгебры и их применениеН(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ- ной сумме.

Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке t * Алгебры и их применениеТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда  * Алгебры и их применениеС dt = L2 (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х =  * Алгебры и их применениех(t) dt →х(t) * Алгебры и их применениеL2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть  * Алгебры и их применение - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств,  * Алгебры и их применение - некоторый ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальное произведение

 * Алгебры и их применение (3.1.)

α = (α1,…, αn)  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение (n раз), то есть рассмотрим упорядо- ченную последовательность ( * Алгебры и их применение ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро- ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1 * Алгебры и их применение,…,  * Алгебры и их применениеНn =  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение. Его векторы имеют вид:

f =  * Алгебры и их применение (fα * Алгебры и их применениеC), || f ||2 = * Алгебры и их применение< ∞ (3.2.)

Пусть g =  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение, тогда скалярное произведение опреде- ляется формулой

(f, g) =  * Алгебры и их применение (3.3.)

Пусть f(k) =  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение(к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1) * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение f(n) =  * Алгебры и их применение (3.4.)

Коэффициенты fα =  * Алгебры и их применение разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение, при этом

|| f || =  * Алгебры и их применение (3.5.)

Функция Н1 * Алгебры и их применение,…,  * Алгебры и их применениеНn  * Алгебры и их применение< * Алгебры и их применение>  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается α.  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса  * Алгебры и их применениев каждом сомножителе  * Алгебры и их применение. При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 * Алгебры и их применение f2, причем считается, что

(f1 + g1) * Алгебры и их применение f2 = f1 * Алгебры и их применение f2 + g1 * Алгебры и их применение f2 (3.6.)

f1 * Алгебры и их применение (f2 + g2) = f1 * Алгебры и их применение f2 + f1 * Алгебры и их применение g2 (3.7.)

(λ f1) * Алгебры и их применение f2=λ (f1 * Алгебры и их применение f2) (3.8.)

f1 * Алгебры и их применение λ (f2) = λ (f1 * Алгебры и их применение f2) (3.9.)

f1, g1 * Алгебры и их применениеН1; f2, g2  * Алгебры и их применениеН2; λ  * Алгебры и их применениеС.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f1 * Алгебры и их применение f2 , g1 * Алгебры и их применение g2 ) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.)

f1, g1 * Алгебры и их применениеН1; f2, g2  * Алгебры и их применениеН2,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть  * Алгебры и их применение,  * Алгебры и их применение - две последовательности гильбер- товых пространств,  * Алгебры и их применение - последовательность операторов Ак * Алгебры и их применениеL(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеАn =  * Алгебры и их применениеАк формулой

( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение) f =  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение) =  * Алгебры и их применение (3.11.)

(f  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеи определяет оператор  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение L ( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение,  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение), причем

||  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение|| =  * Алгебры и их применение||  * Алгебры и их применение|| (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1 * Алгебры и их применение,…,  * Алгебры и их применениеНn = (Н1 * Алгебры и их применение,…,  * Алгебры и их применениеНn-1) * Алгебры и их применениеНn общий случай получается по индукции.

Пусть  * Алгебры и их применение- некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g =  * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применениеG1 * Алгебры и их применение G2. В качестве f возьмем вектор из Н1 * Алгебры и их применение Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα.

Зафиксируем α2, β1  * Алгебры и их применение Z+ и обозначим через f(α2)  * Алгебры и их применениеН1 вектор f(α2) =  * Алгебры и их применение и через g(β1) * Алгебры и их применениеG2 – вектор g(β1) = * Алгебры и их применение. Получим

 * Алгебры и их применение=  * Алгебры и их применение=

=  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение=

=  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение=

=  * Алгебры и их применение

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1 * Алгебры и их применениеG2 ряда  * Алгебры и их применение уже при произвольном c  * Алгебры и их применениеН1 * Алгебры и их применениеН2 и оценка его нормы в G1 * Алгебры и их применениеG2 сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1 * Алгебры и их применение A2: Н1 * Алгебры и их применение Н2 →G1 * Алгебры и их применениеG2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A1 * Алгебры и их применение A2) (f1 * Алгебры и их применение f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк  * Алгебры и их применениеНк , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 * Алгебры и их применение A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для Ак  * Алгебры и их применениеL(Hк, Gк), Вк  * Алгебры и их применениеL(Hк, Gк) (к = 1,…, n) соотношения

( * Алгебры и их применениеВк) ( * Алгебры и их применениеАк) =  * Алгебры и их применение(Вк Ак) (3.13.)

( * Алгебры и их применениеАк)* =  * Алгебры и их применениеАк* (3.14)

( * Алгебры и их применениеАк) (f1 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение fn) = A1 f1 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение An fn (3.15.)

(fк  * Алгебры и их применениеHк; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор  * Алгебры и их применениеАк.

Приведем пример. Пусть Hк = L2( * Алгебры и их применение(0,1), d ( * Алгебры и их применениеmк)) = L2

Действительно, вектору вида (3.1.)  * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение поставим в соответствие функцию  * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применениеL2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеи L2.

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2

P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p1 – 1, v = 2p2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:

P2 = С < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

Обозначим через Рк = π(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и π - *-представление, то Рк2 = Рк* = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = y * Алгебры и их применениеH к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.

Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.

Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.

Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 . Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ - ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1 * Алгебры и их применениеН1┴ , Н=H2 * Алгебры и их применениеН2┴

Введем дополнительные обозначения :

Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид  * Алгебры и их применение. Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2}.

 * Алгебры и их применениеПусть g1 = a11e1 + a12 e2

 * Алгебры и их применение g2 = a21e1 + a22e2

e1 = b11g1 + b12g2

e2 = b21g1 + b22g2

Рассмотрим векторы h1 = eite1 и h2 = eile2, тогда

|| h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1

(h1 ,h2 ) = (eite1 , eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1 ,h2} – ортонормированный базис.

Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0.

Значит в базисе {h1 ,h2} матрица оператора Р1 также имеет вид  * Алгебры и их применение. Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1)

(e1, e2 ) = 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или  * Алгебры и их применение, тогда существует такое комплексное число r, что

 * Алгебры и их применениеa22 = - ra11

a21 = ra12

Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно

 * Алгебры и их применениеa112 + a122 = 1

|a22 |2 + |a21 |2 = 0

тогда | r | = 1.

Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,

Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.

Найдем b11 и b21:

e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2,

 * Алгебры и их применениеb11a11 + b12a12 = 1

b11a12 + b12a22 = 0 или

 * Алгебры и их применениеb11a11 + b12a12 r = 1

b11a12 - b12a11 r = 0,

Тогда b11 = a11.

Аналогично

E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2,

 * Алгебры и их применениеb21a11 + b22a21= 0

b21a12 + b22a22 = 1,

отсюда находим, что b21 = a12.

Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)

Р2 =  * Алгебры и их применение, где a11>0, a12>0 и a112 + a122 =1

А) Пусть a112 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11a12 =  * Алгебры и их применение. Так как a11a12 >0, то τ * Алгебры и их применение(0, 1).

Тогда Р2 =  * Алгебры и их применение.

В) Положим a11 = cosφ,тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом

Р2 =  * Алгебры и их применение.

Найдем коммутант π(P2). Пусть Т =  * Алгебры и их применение оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда

ТР1 =  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение =  * Алгебры и их применение

Р1Т =  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение =  * Алгебры и их применение

Следовательно b = c = 0.

ТР2 =  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение =  * Алгебры и их применение

Р2Т =  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение =  * Алгебры и их применение

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν * Алгебры и их применение(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР1 = Р1U, следовательно U=  * Алгебры и их применение, a, b  * Алгебры и их применениеC

UР2 (τ) =  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение =  * Алгебры и их применение

Р2 (ν) U =  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение =  * Алгебры и их применение.

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p1)  * Алгебры и их применение , π(p2)  * Алгебры и их применение τ * Алгебры и их применение (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p2) =  * Алгебры и их применение φ * Алгебры и их применение (0,  * Алгебры и их применение).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х * Алгебры и их применениеН1 такой, что Р1Р2х = λх, где λ * Алгебры и их применениеС.

Доказательство. Пусть  * Алгебры и их применение,  * Алгебры и их применение ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид  * Алгебры и их применение, где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как х * Алгебры и их применениеН1, то  * Алгебры и их применение, gk  * Алгебры и их применениеC, к = 1,…, n. Тогда

Р1Р2х = Р1Р2 * Алгебры и их применение= Р1Р2 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение= Р1 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение=

= Р1 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение=  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение=  * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение) * Алгебры и их применение =  * Алгебры и их применение

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn:

 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение=  * Алгебры и их применение

j = 1,…, n

Подбирая λ * Алгебры и их применениеC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b  * Алгебры и их применениеС имеем

Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a + λb) х  * Алгебры и их применениеL,

Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х  * Алгебры и их применениеL

dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х =  * Алгебры и их применение Р2х, значит  * Алгебры и их применение= 0 или 1 и х  * Алгебры и их применениеН1,1; тогда Н1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред- ставлений *-алгебры P2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе- ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств

Н = Н0,0 * Алгебры и их применениеН0,1 * Алгебры и их применениеН1,0 * Алгебры и их применениеН1,1  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применениеНк)), (1.1.)

где каждому подпространству Нк соответствует одно φк * Алгебры и их применение (0,  * Алгебры и их применение), φк ≠ φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j , Рφк: Н → С2 * Алгебры и их применениеНк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P0,0 * Алгебры и их применение P0,1 * Алгебры и их применение P1,0  * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применениеРφк), (1.2.)

P1 = P1,0 * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) (1.3)

Р2 = P0,1  * Алгебры и их применениеP1,1  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) (1.4)

где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н0,0 * Алгебры и их применение Н0,1 * Алгебры и их применение Н1,0  * Алгебры и их применениеН1,1  * Алгебры и их применение Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого- нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк * Алгебры и их применение (0,  * Алгебры и их применение):

Н΄ =  * Алгебры и их применениеНφк, (l = n -  * Алгебры и их применение)

Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм

Нφк * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеНφк ≈ С2 * Алгебры и их применениеНк , где Нφк nк экземпляров, dim(Нφк * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеНφк )=2nк dim(С2 * Алгебры и их применениеНк) = dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н0,0  * Алгебры и их применение Н0,1 * Алгебры и их применение Н1,0  * Алгебры и их применениеН1,1  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применениеНк))

Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,j и πк - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n0,0π0,0 * Алгебры и их применениеn0,1π0,1 * Алгебры и их применениеn1,0π1,0 * Алгебры и их применениеn1,1π1,1 * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применениеnкπк) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P0,0  * Алгебры и их применение P0,1 * Алгебры и их применение P1,0  * Алгебры и их применениеP1,1  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применениеРφк)

Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид

P1 = P1,0  * Алгебры и их применениеP1,1  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк ))

Р2 = P0,1  * Алгебры и их применениеP1,1  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк ))

Причем n1,0π1,0(р1) = P1,0 , n0,1π0,1(p2) = P0,1 , n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно

UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВL * Алгебры и их применениеL, но тогда ВL * Алгебры и их применениеАL * Алгебры и их применениеL, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть  * Алгебры и их применениеL * Алгебры и их применениеН: АL * Алгебры и их применениеL и ВL * Алгебры и их применениеL, то из включения АВL * Алгебры и их применениеАL * Алгебры и их применениеL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р1 и Р2 приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство L * Алгебры и их применениеН такое, что Р1L * Алгебры и их применениеL, Р2L * Алгебры и их применениеL. Рассмотрим АL = (2Р1 – I)L * Алгебры и их применениеL, ВL = (2Р2 – I)L * Алгебры и их применениеL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1 и Р2 также будут приводимы, так как Р1L =  * Алгебры и их применениеL * Алгебры и их применениеL, Р2L =  * Алгебры и их применениеL * Алгебры и их применениеL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если eiφ * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение(U), то e-iφ * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение(U).

Доказательство.

1) Если eiφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует f * Алгебры и их применениеН: ||f|| = 1 и Uf = eiφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU-1f = eiφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e-iφ принадлежит спектру U.

2) Если eiφ * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение(U), то существует последовательность единичных векторов  * Алгебры и их применение в Н || fn || = 1 такая, что

||Ufn - eiφfn || = || UАfn - eiφ A fn || = || U-1Аfn - eiφ A fn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)

Тогда eiφ * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение(U-1), следовательно e-iφ * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U-1) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А

А (U - U-1) = А (U2 – 2I + U-2) = (U2 – 2I + U-2)А = (U - U-1)2А

Таким образом А (U + U-1) = (U-1 +U)А (2.2.)

А (U - U-1) = (U - U-1)2А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U-1 = cI

(U - U-1)2 = d2I

где c, d  * Алгебры и их применениеС. По теореме преобразования спектров eiφ+ e-iφ = c, eiφ- e-iφ = ±d.

Если d = 0, то  * Алгебры и их применение(U) состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, х * Алгебры и их применениеH.

Если d ≠ 0, то  * Алгебры и их применение(U) дискретен и состоит из двух точек eiφ= * Алгебры и их применение и e-iφ= * Алгебры и их применение φ * Алгебры и их применение(0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ (или e-iφ), Нeiφ = Uf = одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = eiφf, U(Аf) = eiφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ= dimН-eiφ=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что  * Алгебры и их применение(U) = {eiφ, e-iφ} φ * Алгебры и их применение(0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А =  * Алгебры и их применение, U =  * Алгебры и их применение, В =  * Алгебры и их применение

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер- ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0 * Алгебры и их применениеН0,1 * Алгебры и их применениеН1,0  * Алгебры и их применениеН1,1 * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применениеL2((0,  * Алгебры и их применение), dρк))) (2.4.)

где ρ1 > ρ2 >… ρк меры на интервале (0,  * Алгебры и их применение), такое, что имеют место равенства

P1 = P1,0  * Алгебры и их применениеP1,1  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) (2.5.)

Р2 = P0,1  * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) (2.6.)

Iк – единичный оператор в L2((0,  * Алгебры и их применение), dρк)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н0,0  * Алгебры и их применение Н0,1 * Алгебры и их применение Н1,0  * Алгебры и их применениеН1,1  * Алгебры и их применение Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечает циклическое представление πF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF на Т.

Пусть каждому вектору ξ * Алгебры и их применениеН поставим в соответствие подпространство Нξ  * Алгебры и их применение Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где х * Алгебры и их применениеА. Ограничения операторов из π(А) на Нξ является циклическим представлением. Обозначим его через πξ, а соответствующую меру на Т через μξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μξ > μη (то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ).

Если η * Алгебры и их применениеНξ, то Нη * Алгебры и их применениеНξ, тогда πη – циклическое подпредставление πξ. Пусть Е * Алгебры и их применение Т и μξ (Е) = 0, тогда μη (Е) = 0, следовательно μξ > μη, а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н =  * Алгебры и их применениеНηк. Пусть {ζi} – последовательность, в которой каждый из векторов ηi встречается бесконечное число раз. Определим ξк индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

ξк+1 – максимальный вектор в ( * Алгебры и их применениеНξi)┴,

d (ζк,  * Алгебры и их применениеНξi) ≤  * Алгебры и их применение.

Тогда разложение Н =  * Алгебры и их применениеНξк такое что ξк>ξк+1 и μк>μк+1 .

Пусть представления πμ в L2(Т, μ) и πν в L2(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, μ) →L2(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπμ(g)f = πν (g)vf = πν (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ =  * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применениеL2(Т, μк)), где μ1>μ2>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P1 = P1,0  * Алгебры и их применениеP1,1  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк ))

Р2 = P0,1  * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк ))

Iк – единичный оператор в L2((0,  * Алгебры и их применение), dρк).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0 * Алгебры и их применениеН0,1 * Алгебры и их применениеН1,0  * Алгебры и их применениеН1,1 * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применениеС2 * Алгебры и их применениеН(φ)dЕ(φ) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0,  * Алгебры и их применение) разложение dЕ(φ) единичного оператора I+=E(0,  * Алгебры и их применение) в Н+ = * Алгебры и их применениеС2 * Алгебры и их применениеН(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P1 = P1,0  * Алгебры и их применениеP1,1  * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеI+ (2.8.)

Р2 = P0,1  * Алгебры и их применениеP1,1 * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеdЕ(φ) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве  * Алгебры и их применениеL2(R, dρк), где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то  * Алгебры и их применение(Р) =  * Алгебры и их применениер (Р) = {0, 1}, где  * Алгебры и их применениер (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y, х, y * Алгебры и их применение Н, λ * Алгебры и их применение С. Тогда (1 - λ) Рх = Рy . Если λ ≠ 1, то Рх =  * Алгебры и их применениеРy. Если х ≠ 1, то х =  * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применениеРy - y), тогда  * Алгебры и их применение(Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх ≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениер (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениер (Р). Итак,  * Алгебры и их применение(Р) =  * Алгебры и их применениер (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк – область значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем  * Алгебры и их применение(А).

1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х * Алгебры и их применение Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение (А).

2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х * Алгебры и их применение Н2 = Н Ах = х, то есть 1  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение (А).

3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х * Алгебры и их применение Н1 = Н Ах = х.

4) Р1 = Р2 = I, то для любого х * Алгебры и их применение Н1 = Н2 = Н Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение (А).

Таким образом, если dimH =1, то  * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение{0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х * Алгебры и их применение Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение (А).

2) х * Алгебры и их применение Н0,1 или х * Алгебры и их применение Н1,0 , тогда Ах = х и 1  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение (А).

3) х * Алгебры и их применение Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j  * Алгебры и их применение Нk,l = H. В этом случае  * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение{0, 1, 2}.

Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АL * Алгебры и их применениеL. Пусть х * Алгебры и их применение L, тогда Рkх = λкх (k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны случаи:

λ1 = 0, λ2 = 0;

λ1 = 0, λ2 = 1;

λ1 = 1, λ2 = 0;

λ1 = 1, λ2 = 1;

Но это означает, что  * Алгебры и их применение k,l = 0,1 такие, что Нk,l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р1 =  * Алгебры и их применение, Р2  * Алгебры и их применение τ * Алгебры и их применение (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 + bР2, a и b * Алгебры и их применение С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 + bР2 – λI) = 0.

 * Алгебры и их применение

 * Алгебры и их применение (1.1.)

Тогда  * Алгебры и их применение,  * Алгебры и их применение (1.2)

Положим a = 1, b =1, ε =  * Алгебры и их применение, тогда λ1 = 1+ε , λ2 = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.

Тогда  * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение{0, 1, 2} * Алгебры и их применение{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =К * Алгебры и их применениеL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х * Алгебры и их применение Н существует единственное разложение x = k +l, k * Алгебры и их применение K, l * Алгебры и их применение L. Пусть λ * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение (А), тогда Ах = λх =λk +λl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0, Н1=Н0,1 * Алгебры и их применениеН1,0, Н2=Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφк φк * Алгебры и их применение (0,  * Алгебры и их применение), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Нφк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк, 1-εк входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Нφк = Н1+εк  * Алгебры и их применениеН1-εк , причем dimН1+εк = dimН1-εк = 1 (1.3)

Если φк ≠ φi, то εк ≠ εi (так как εк =  * Алгебры и их применение=cosφк и φк * Алгебры и их применение (0,  * Алгебры и их применение)). Объединим все Нφк , у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, и обозначим его через Нφк. При этом, если dimНφк = 2qk, то есть Нφк состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφк = Н1+εк  * Алгебры и их применениеН1-εк , dimН1+εк = dimН1-εк = qk.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда

 * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение{0, 1, 2} * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение{1+ε , 1-ε}), 0<εк<1,

причем dimН1+εк = dimН1-εк к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:

 * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение{0, 1, 2} * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение{1+ε , 1-ε}), где 0<εк<1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН1+εк = dimН1-εк . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н(0) * Алгебры и их применение Н(1)  * Алгебры и их применениеН(2) * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применениеНк)) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н(0) * Алгебры и их применение Н(1)  * Алгебры и их применениеН(2) * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применение(Н1+εк  * Алгебры и их применениеН1-εк ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом

P1 = PН2 * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) (1.6.)

Р2 = PН1  * Алгебры и их применениеPН2  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) (1.7.)

где PНк – ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is – единичный оператор в Hs s=1,…, m. Но тогда

Р1 + Р2 = PН1  * Алгебры и их применениеPН2  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ1 + λ2 = a + b. Пусть λ2 = ε, тогда λ1 = a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a - b)2 + 4abτ > 0.

Тогда ε =  * Алгебры и их применение >  * Алгебры и их применение= 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a ≤  * Алгебры и их применение

 * Алгебры и их применение≤ b – a

(b - a)2 +4abτ ≤ (b – a)2

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

 * Алгебры и их применениеλ1 = ε

λ2 = a + b – ε. (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда

 * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение{0, a, b, a + b} * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение{εк , a + b - εк}), 0<εк<1, и

dimНεк = dimНa+b-εк (Нεк , Нa+b-εк - собственные подпространства оператора А, отвечающие εк) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2, 0<a<b. Найдем  * Алгебры и их применение(А).

1) х * Алгебры и их применение Н0,0, то Ах = 0 и 0 * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение(А);

2) х * Алгебры и их применение Н0,1 , то Ах = bx и b * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение(А);

3) х * Алгебры и их применение Н1,0 , то Ах = ax и a * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение(А);

4) х * Алгебры и их применение Н1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b * Алгебры и их применение * Алгебры и их применение(А).

Тогда  * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение{0, a, b, a + b} * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение{εк , a + b - εк}), где 0<εк<1, к=1,…m. Причем числа εк, a + b - εк входят одновременно в спектр А, и соответству- ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк также инвариантна относительно А и dimНεк = dimНa+b-εк = qk. (с учетом кратности εк)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н(0) * Алгебры и их применение Н(a)  * Алгебры и их применениеН(b) * Алгебры и их применениеН(a+b) * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применениеНк)) (1.9.)

Где Н(0)=Н0,0 , Н(a) =Н1,0 , Н(b)=Н0,1 , Н(a+b)=Н1,1 или

Н = Н(0) * Алгебры и их применение Н(a)  * Алгебры и их применениеН(b) * Алгебры и их применениеН(a+b) * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение(Нεк * Алгебры и их применение Нa+b-εк) (1.10.)

Положим

P1 = Pa * Алгебры и их применениеPa+b  * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) (1.11.)

Р2 = Pb  * Алгебры и их применениеPa+b  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) (1.12.)

Но тогда

aР1 + bР2 = aPa * Алгебры и их применениеbPb  * Алгебры и их применение (а+b)Pa+b  * Алгебры и их применение (a * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) * Алгебры и их применение

 * Алгебры и их применение(b * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b} * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение{εк , a + b - εк}), (0<εк<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда  * Алгебры и их применение(А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н0  * Алгебры и их применение Н1 * Алгебры и их применение Н2  * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применениеL2((0,  * Алгебры и их применение), dρк))) (2.1.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р1 + Р2. Н0=Н0,0 , Н1=Н1,0 * Алгебры и их применениеН0,1 , Н2=Н1,1

Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ * Алгебры и их применение (0,  * Алгебры и их применение). Тогда, как было найдено выше, спектр  * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н0  * Алгебры и их применение Н1 * Алгебры и их применение Н2  * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применениеL2((0, 2), dρк)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и  * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами

Р1΄ = P1 * Алгебры и их применениеP2 * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк ))

Р2΄ = P2  * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк ))

где Pi: Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0, 2), dρк)). Тогда А =Р1΄ + Р2΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 + bР2 (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1 + bР2 (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда  * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение [0, a]  * Алгебры и их применение[b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н0 * Алгебры и их применение Нa  * Алгебры и их применениеНb * Алгебры и их применениеНa+b * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применениеL2([0, a]  * Алгебры и их применение[b, a+b], dρк)))) (2.2.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→a+b.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2 (0<a<b). Пусть Н0=Н0,0, На=Н0,1, Нb=Н1,0 , Нa+b=Н1,1. Так как  * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение [0, a]  * Алгебры и их применение[b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н0 * Алгебры и их применение Нa  * Алгебры и их применениеНb * Алгебры и их применениеНa+b * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение(С2 * Алгебры и их применениеL2([0, a]  * Алгебры и их применение[b, a+b], dρк))))

где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.

Обратно, пусть  * Алгебры и их применение(А)  * Алгебры и их применение [0, a]  * Алгебры и их применение[b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2 следующим образом

P1 = Pa * Алгебры и их применениеPa+b  * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк ))

Р2 = Pb  * Алгебры и их применениеPa+b ( * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк ))

где Рα: Н→Нα , α = a, b, a+b – ортопроекторы, Iк – единичный оператор в L2([0,a]  * Алгебры и их применение[b, a+b]). Тогда

А = aР1 + bР2 = aР1 * Алгебры и их применение bР2 * Алгебры и их применение(a+b)Pa+b  * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение( * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк ))  * Алгебры и их применение

 * Алгебры и их применение ( * Алгебры и их применение  * Алгебры и их применение * Алгебры и их применениеIк ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .

P2 = С <p1, p2 | pк2 = pк* =pк>.

А именно: 4 одномерных π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.

И двумерные:  * Алгебры и их применение ,  * Алгебры и их применение τ * Алгебры и их применение (0, 1)

Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 и А = aР1 + bР2 (0<a<b).

Список литературы

Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua/




© 2010.