рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Алгоритм раскраски графа (точный)  

Алгоритм раскраски графа (точный)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра САПР



Пояснительная записка

к курсовому проекту по дисциплине

“Дискретная математика”

На тему: “Алгоритм раскраски графа (точный)"





Выполнил: студентка гр. 06ВА-1

Молоткова Е.

Принял: к.т.н., доцент Валько А.Ф.











Пенза 2007г.


СОДЕРЖАНИЕ


Аннотация

1. Теоретическая часть

2. Алгоритм, использующий метод Магу - Вейссмана

2.2 Разработанный алгоритм

3. Описание программы

3.1 Общие сведения

3.2 Вызов и загрузка

3.3 Функциональное назначение

3.4 Описание логической структуры программы

3.5 Инструкция пользователю

3.6 Решение контрольных примеров

Заключение

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ



Аннотация


В настоящей пояснительной записке приведено описание алгоритма раскраски графа (точный). Изложены вопросы проектирования структуры программы и данных. Разработаны схемы алгоритмов решения задачи. Разработана и отлажена программа, реализующая представленные алгоритмы на языке Visual C. Представлены результаты решения контрольных примеров, выполненные с помощью разработанной программы на ПК Intel core 2 Duo.

Пояснительная записка содержит 34 страницы, 5 рисунков, 4 использованных источника, приложения.


1. Теоретическая часть


Графом,в общем случае, называются два множества, находящиеся между собой в некотором отношении: G=(V,Е), где V - множество вершин, Е - множество связей между ними . Вершины графа изображаются точками, а связи между ними - линиями произвольной конфигурации.

Связь неупорядоченной пары вершин называется ребром, упорядоченной- дугой. Граф, у которого все вершины соединены дугами называется ориентированным. Граф, у которого все вершины соединены ребрами называется неориентированным, если в графе присутствуют и ребра и дуги, то такой граф называется смешанным.

Две вершины называются смежными, если они определяют дугу (ребро), и две дуги называются смежными, если они имеют общую вершину. Вершина инцидентна дуге (ребру), если она является началом или концом этой дуги(ребра). Аналогично, дуга (ребро) инцидентна вершине, если она входит или выходит из этой вершины. Число дуг(ребер), инцидентных некоторой вершине, называют локальной степенью данной вершины.

Граф, в котором любая пара вершин соединена ребром называется полным. Полный граф обычно обозначают через Кn (n - число вершин в графе).

Число ребер полного графа m=n*(n-1)/2. Полный подграф G`=(X`,U`)графа G=(Х,U), X`εX называется максимальным полным подграфом (МПП) или кликой , если этот подграф не содержится в большем (по числу вершин) полном подграфе.

Максимальный полный подграф, содержащий наибольшее число вершин из всех МПП графа называется наибольшим полным подграфом (НПП). Число вершин наибольшего полного подграфа называется плотностью графа - φ(G). Если две любые вершины подмножества X` графа G(Х,U), где X`εX не смежны, то подмножество X` называется внутренне устойчивым.

Подмножество ψi X графа G(Х,U) называется максимальным внутренне устойчивым подмножеством (МВУП), или независимым подмножеством (НП), если добавление к нему любой вершины xjεХ делает его не внутренне устойчивым. Подмножество Yi будет определяться как хjεψi (Гхj uψi =)

МВУП различаются по числу входящих в них элементов. МВУП, содержащее наибольшее число элементов (вершин), называют наибольшим (предельным). Мощность НВУП (число вершин наибольшего ВУП) называется числом внутренней устойчивости

h (G) = |mах ψi |, где ψiεψ, ψ-семейство всех МВУП.

Число внутренней устойчивости называет также неплотностью графа.

Задачи определения наибольших полных подграфов и НВУП являются дополнительными друг к другу. Наибольшему полному подгра­фу графа G=(Х,U) соответствует наибольшее ВУП в графе G=(Х,U), где Uполн\U, Uполн - множество ребер полного графа, построенного на n вершинах. Аналогичные рассуждения могут быть сделаны и для максимальных НП и МВУП.

Все эти задачи относятся к так называемым NP полным задачам, временная сложность которых экспоненциальна относительно входа (числа вершин или ребер графа).

Согласно классификации всех задач теории графов по их сложности, приведенной в основополагающей работе Э. Рейнгольда и других, задачи определения МВУП и МПП (нахождение клик) графа по сложности относятся к четвертому классу задач, для которых не существует и не может существовать точного полиноминального алгоритма, так как задачи этого класса обязательно экспоненциальные относительно входа. Задачи определения НПП и МВУП (наибольшей клики) относятся к третьему классу, для которого открытие полиноминального алгоритма возможно.



2. Алгоритмы раскраски вершин графа


Раскраской вершин графа G называется разбиение множества вершин Х на l непересекающихся подмножеств Х1, Х2, ..., Хl; ХÈХI; XiÇXj=Æ; i,jÎI={1,2,..,l}, (1)

таких, что внутри каждого подмножества Xi не должно содержаться смежных вершин (Xi-внутренне устойчивые подмножества).

Если каждому подмножеству хi поставить в соответствие определенный цвет, то вершины внутри этого подмножества можно окрасить в один цвет, вершины другого подмножества Хj - в другой цвет и т.д. до раскраски всех подмножеств.

В этом случае граф называется 1-раскрашиваемым. Наименьшее число подмножеств, на которое разбивается граф при раскраске, называется хроматическим числом c(G).

Очевидно, что полный граф Kn можно раскрасить только n цветами, следовательно, c(Кn) =n. Для связного графа G= (Х,U) с числом ребер m, где (n-1)<m<n(n-1)/2 верхняя оценка хроматического числа c(G) определяется как


c(G)


Нижней оценкой c(G) является число вершин в наибольшем полном подграфе графа G,т.е. его плотность. Известно утверждение, что для любого графа c(G)<1+max r(xi),где хi Î Х, iÎI={1,2,...,n},r(xi)- локальная степень вершины хi.Приводятся также следующие оценки:


c(G)³n2/(n2-m2); c(G)£n+1-c(Gд),


где Gд= К\G ( дополнение графа G до полного К).

Задача раскраски вершин (поиска хроматического числа) графа может быть решена точными или приближенными алгоритмами.

К точным алгоритмам относятся: алгоритм, использующий метод Магу - Вейсмана; алгоритмы, основанные на рассмотрении максимальных r - подграфов и алгоритмы на основе методов целочисленного линейного программирования.

К приближенный алгоритмам раскраски относятся алгоритмы, основанные на упорядочивании множества вершин графов , последовательном удалении из графа вершин, имеющих максимальную степень и на анализе подмножеств смежности вершин.


2.1 Точные алгоритмы


Алгоритм, использующий метод Магу - Вейссмана

1. Для графа G (Х,U) построим семейство МВУП F={Fj}, где j= 1,... ,1; 1 - число МВУП.

1.       2. Составим матрицу


Cij=


3. Для. каждой вершины графа G =(Х,U) по матрице С находим суммы тех FjÎF, в которые она входит, и записываем произведение этих сумм.

4. Раскрываем скобки по правилам булевой алгебры и выбираем слагаемое, состоящее из наименьшего числа сомножителей.

Рассмотрим работу описанного алгоритма на примере графа (рис.16).Согласно алгоритму Магу - Вейссмана для поиска семейства МВУП составим произведение

ПG = (X1 +Х2) (Х1+ХЗ) (Х2+ХЗ) (Х2+Х5) (Х2+Х7) (ХЗ+Х5) (ХЗ+Х6) (ХЗ+X7)*

(Х4+Х5) (Х4+Х6) (Х4+Х7) = (Х1+Х2ХЗ)*(Х2+ХЗХ5Х7) (ХЗ+Х5Х6Х7) (Х4++Х5Х6Х7) = (Х1Х2+Х1ХЗХ5Х7+Х2ХЗ+Х2ХЗХ5Х7) (ХЗХ4+ХЗХ5Х6Х7+Х4Х5Х6X7++Х5ХбХ7) =Х1Х2Х3Х4+Х1Х2Х5ХбХ7+Х1Х3Х4Х5X7+Х1Х3Х5Х6Х7+Х2ХЗХ4+

+Х2ХЗХ5Х6Х7. Рi= Х1Х2ХЗХ4 поглощается подмножеством Р5 =Х2ХЗХ4.


Используя условие, что в ПG в качестве сомножителей будут вершины Х\Рj получаем следующее семейство


МВУП F={F1,F2,F3,F4,F5}: F1=X\{X1,X2,X5,X6,X7}={X3,X4}; F2={X2,X6}; F3={X2,X4}; F4={X1,X5,X6,X7}; F5={X1,X4}.


Составляем матрица C



Для каждой вершины Хi Î Х по матрице С составим суммы тех FjÎF, в которые оно входит и запишем произведение этих сумм


ПС=(F4+F5)(F2+F3)F1*(F1+F3+F5)F4*(F2+F4)F4=(F2+F3F4)F1F4=F1F2F4+F1F3F4.

Каждое из двух полученных слагаемых содержит в неявном виде все вершины графа G =(Х,U), Таким

образом, для раскраски требуется минимум 3 цвета. Раскроем слагаемые и удалим дублирующие вершины.

В результате получаем два варианта решения:


F1F2F4={ХЗ,Х4;Х2;Х1,Х5,Х6,Х7} или

F1F2F4={ ХЗ,Х4;Х2X6;Х1,Х5,Х7};

F1F3F4={X3;X2,Х4;Х1,Х5,Х6,Х7}

или F1F3F4={XЗ,X4;X2;X1,X5,Xб,X7}.


Первый и последний варианты совпали. Получены три различных варианта минимальной раскраски вершин графа.


2.2 Разработанный алгоритм


Разработанный алгоритм работает на основе операций с матрицей смежности.

Данный алгоритм реализуется следующим образом:

За основу берется матрица смежности M для данного графа G.

Затем создается массив A, в каждой строке которого содержится множество вершин A[i]. первым элементом этого множества является вершина Xi0, номер которой совпадает с номером строки. Остальные члены этого множества - все вершины данного графа G, смежные первой вершине из этого множества.

Далее с этим массивом A проводятся следующие манипуляции:

Множество вершин A[i] в каждой строке просматривается, начиная со второго элемента Xi1 этого множества A[i], и по матрице смежности M устанавливается, смежна ли данная вершина Xij всем предыдущим вершинам из множества A[i], начиная с первой - Xi0. Если обнаруживается, что одна из вершин Xij при рассмотрении не смежна с другими вершинами Xik (k=0,j-1) этого множества A[i], то она удаляется из этого множества. Продолжается рассмотрение остальных вершин Xij до тех пор, пока множество не рассмотренных вершин не станет пустым. Таким образом, из данного множества вершин A[i], смежных с первой вершиной этого множества - Xi0 будут удалены все те вершины, которые не смежны всем остальным вершинам этого множества A[i]. Таким образом, оставшееся множество вершин A[i] будет являться максимальным полным подграфом от первой вершины этого множества Xi0.

После рассмотрения одного множества A[i] в массиве A рассматриваются следующие, по той же схеме. Из них также удаляются вершины. В конечном счече будет получен массив A, в каждой i-й строке которого будет содержаться максимально полный подграф A[i], возможный от i-й вершины Xi0.

На следующем шаге алгоритма будет создан еще один массив B, содержащий множество целых чисел. Каждый i-й элемент B[i] этого множества B представляет собой количество вершин в соответствующем максимально полном подграфе A[i]. Например если 3-й элемент данного множества равен 5, это означает, что максимально полный подграф, построенный от 3-ей вершины состоит из 5 вершин, включая 3-ю. множество вершин {X30..X34}, которые составляют этот подграф A[3] является мнжеством вершин в 3 строке массива A.

После того, как были созданы массивы A и B, создается линейный список С, каждый элемент которого содержит множество вершин X, составляющих уникальный наибольший полный подграф графа G.

Очевидно, что массив A будет содержать в себе одиаковые множества вершин. Единственным отличием этих множеств друг от друга будет то, что первый элемент каждого такого множества будет отличен от первого элемента такого же множества, находящегося в массиве A.

Например, если в массиве A имеется следующее множество вершин, состовляющее полный подграф: {2,4,5,7}, что означает, что во 2 строке массива А содержится это множество вершин, состоящее из 4 элементов, массив В содержит 4 одинаковых элемента - 4 по адресам 2,4,5,7. Однако это означает, что в 4, 5 и 7 строках массива А будет содержаться то же самое множество вершин.

Во время формирования списка С этот факт учитывается.

Список формируется следующим образом: в массиве В ищется максимальный элемент bmax. Это целое число, показывающее размер наибольшего полного подграфа графа G. Затем просматривается массив В. И если соответствующий элемент B[i]по адресу i равен bmax, то создается новый элемент в списке, в него заносится наибольший полный подграф из массива А по адресу i. Проводится дальнейший просмотр массива В и ищутся другие подграфы, содержащие bmax вершин. Если таковые находятся (а они обязательно находятся) то на этом этапе выполняется проверка, не добавлено ли уже это множество вершин A[i] в список НПП. Проверка осуществляется следующим образом: список С просматривается сначала, и каждое множество вершин, содержащееся в элементе этого списка сравнивается с множеством A[i]. Если обнаруживается, что такое множество A[i] уже содержится в списке С, то оно пропускается, происходит дальнейшее рассмотрение массива В. В противном случае, если такое множество не было найдено в списке, то создается еще одна ячейка списка С и в нее записывается множество A[i].

Таким образом, после того, как закончится рассмотрение массива В, то есть будут рассмотрены все возможные НПП и уникальные будут добавлены в список С, полученный список С будет содержать в себе все возможные НПП для данного графа G.


3. Описание программы


3.1 Общие сведения


Программа нахождения максимально полного подграфа в произвольном графе реализована на языке Visual C. Программа имеет имя diskretka.exe

Программа содержит около 705 строк, исполняемый код программы (файл diskretka.exe) занимает 192 Кбайт оперативной памяти и примерно столько же на диске. Исходный текст программы на языке Visual C (файл diskretka.cpp) занимает 15.8 Кбайт памяти на диске.

Страницы: 1, 2, 3


© 2010.