рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Аркфункции  

Аркфункции

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.


            Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y

 

y

 
            y = arcsin(1/x)

π/2

 

-π/2

 
Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,

            | x | ≥ 1 ,

( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

y

 

x

 
 




Функция нечетная





( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )



y

 
Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

π

 
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)



Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

 







Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).

π/2

 
Решение:

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

-1

 

0

 
f(x) возрастает на пр. [-1;0]

1

 

x

 
 





Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2

f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.















Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))

Решение:

Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

y

 
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )



π/2

 
X

0

< x <

1

< x <

+∞

1

 

-1

 
u=1/(x2-1)

-1

+ ∞

- ∞

0

0

 

x

 
y=arctg(u)

- π/4

π/2

- π/2

0

-π/4

 

-π/2

 




Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически  одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:


sin(arcsin(x)) = x ,                                             cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x ,                                               ctg(arcctg(x)) = x

            (справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:


                                y=x                                  и                                  y=sin(arcsin(x))

 












Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

 


Аргумент


функция

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arcctg(x)

sin

sin(arcsin(x))=x

cos

x

tg

x

1 / x

ctg

1 / x

x


Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

1.      Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)


Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем


2.      Из тождества следует:

 


3.      Имеем


4.     


Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.


Пример №1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу , имеем:


Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:


Пример №3. Пользуясь ...


            Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:


Пример №5. Положив в формулах

,       и         

, получим:

,                       


Пример №6. Преобразуем

Положив в формуле ,              

Получим:

           

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.


Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:



arccos(x)

 

arcsin(x)

 



-1

 

1

 

y

 

x

 





Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).


Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

Страницы: 1, 2


© 2010.