рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Атомические разложения функций в пространстве Харди  

p> [pic].
Тогда для [pic]
[pic]
[pic][pic][pic]
[pic][pic]
[pic].
Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора [pic].
Используя его, найдем такую последовательность функций [pic] ,что

[pic],

[pic] ( 14 )

[pic] для п.в. [pic].

Согласно (13) при x( (-((()
[pic]
[pic]
Учитывая , что по теореме 1 [pic] для каждого x( [-(( (] и (14) из последней оценки получим
[pic] при r(1.

Теорема 2 доказана.
Замечание1.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x( [-(( (] [pic], когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности [pic] пути.

§I.2.Пространства Hp.[pic]
Определение I.3.
Пространство [pic]- совокупность аналитических в единичном круге функций F
(z) , для которых конечна норма

[pic] .

(15)
Пусть комплекснозначная функция [pic] удовлетворяет условиям

[pic] [pic]

(16) тогда функция F (z) , определенная равенством

[pic] (17) принадлежит пространству [pic], причем

[pic] .

(18)
[pic]
[pic]Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства [pic] мы имеем

[pic] (()
С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=( в силу теоремы 2)

[pic] . Отсюда [pic] ((()
Учитывая (() и ((() , получим (18).

Ниже мы докажем, что любую функцию [pic] [pic] можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется
Теорема 3.
Пусть комплекснозначная функция ( (t) имеет ограниченную вариацию на
[ -(((] и

[pic] (19)
Тогда ( (t) абсолютно непрерывна на [-(((].
Замечание2.
В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации ( (t) . Мы говорим, что
( (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

[pic] определен для каждой непрерывной на [-(((] функции f (t) , а также если
[pic] - характеристическая функция замкнутого множества [pic].

Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества [pic],
[pic] ,

[pic] (20)
Для этой цели убедимся, что справедлива
Лемма 1.
Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем [pic] и
[pic]. Тогда для всякого [pic] , существует функция [pic] вида

[pic] , (21) обладающая свойствами: а) [pic] ; б) [pic] ;

(22) в) [pic] .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть [pic] , где [pic] - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для [pic]

[pic].
Очевидно, что [pic]- открытое множество и [pic].
Рассмотрим для данных [pic] функцию [pic], построенную в лемме 1 для числа ( и множества [pic]. Тогда нетрудно проверить[3], что если
[pic], а [pic] , то разность

[pic]. (23)
Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

[pic] , и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится
ОпределениеI.4.
Средние Фейера - это средние вида
[pic] [pic], где [pic], [pic], [pic] - ядро Дирихле,
[pic], [pic]- ядро Фейера.
Отметим, что при [pic] ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) [pic], [pic]; б) [pic],
Мз которых вытекает, что для [pic] и [pic]
[pic], [pic]
Также известно [3], что средние Фейера [pic] равномерно сходятся к [pic].

Пусть f(t) - непрерывная на [-(, (] функция, для которой

[pic][pic] и [pic]
Так как средние Фейера [pic]равномерно сходятся к [pic] и
[pic] , то существует тригонометрический полином

[pic] (24) такой, что

[pic] (25)
Пусть [pic]. Рассмотрим для каждого ((( такую функцию [pic], что

[pic], [pic]

[pic]
(функцию [pic] можно построить следующим образом: взять замкнутое множество [pic] с мерой [pic] , достаточно близкой к 2(, и положить
[pic] ).
Так как [pic] (здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых ((( функция [pic] удовлетворяет соотношениям

[pic] (26)
При этом [pic], если [pic]. Тогда средние Фейера [pic] функции h(t) имеют вид

[pic] и при достаточно большом N

[pic] (27)
Положим

[pic] , [pic] (28)
Так как h(t) - действительная функция, то [pic] , n=(((((((((. Поэтому

[pic] и [pic]. (29)
Определим искомую функцию g(t) :

[pic]
Ясно, что [pic], а из (24) и (28) следует, что [pic] при n0; б) если [pic], [pic], то [pic] и [pic].
Теорема 5.
Следующие условия эквивалентны [pic]: а) [pic] ; б) [pic], [pic], [pic], [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] , где [pic]- такая действительная функция, что ее сопряженная [pic] также принадлежит пространству [pic]:

[pic]. (36)

Доказательство:
Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.
Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :[pic], имеют место равенства

[pic], [pic] (37)
Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что
[pic], [pic], [pic], [pic]
[pic]. Следовательно, равенства (37) выполняются, если [pic]- произвольный тригонометрический полином.
Пусть [pic] фиксировано. Для произвольной функции [pic] и [pic] положим

[pic] , [pic], где [pic], [pic], [pic].
Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций [pic] (наличие этих свойств мы установим ниже):

1) [pic], [pic], [pic];

2) при [pic] функции [pic] , [pic], сходятся по мере к

[pic];

3) [pic] , [pic] , [pic], где С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).
Легко видеть, что [pic], где [pic], поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций [pic],[pic]:

[pic] по мере [pic]. (38)
Для произвольного [pic] найдем тригонометрический полином [pic] такой, что

[pic], [pic] . (39)
Тогда согласно 3)

[pic] (40) и при [pic]

[pic]. (41)
Так как [pic] - полином, то [pic] и

[pic] . (42)
Учитывая, что [pic], и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим [pic] ,
[pic], что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции [pic] справедливы соотношения
1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как [pic].
Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное [pic] и представим функцию [pic]в виде

[pic], [pic], [pic] . (43)
Из непрерывности функции [pic] легко следует, что

[pic] равномерно по [pic]. Поэтому при достаточно больших [pic] с учетом (43) мы будем иметь

[pic], [pic] (44)
Кроме того, в силу 1) и (43)

[pic] ; из этого неравенства и (44) вытекает, что при [pic]

[pic].
Для доказательства оценки 3) заметим, что

[pic], где [pic]. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции [pic]и учитывая, что [pic], получим 3).
Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме
5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).
Пусть [pic] ([pic],[pic],[pic]) и
[pic]. Тогда по теореме 4 [pic], [pic] и надо доказать только, что [pic] для п.в. [pic].
Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при [pic] и [pic]

[pic], [pic].
С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого [pic],

[pic], [pic].

(45)
Согласно теореме 1

[pic]. (46)
Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости [pic]([pic]) следует сходимость по мере функций [pic] к [pic]. Таким образом,

[pic] по мере ([pic]), а потому , учитывая (46), [pic] для п.в. [pic].
Теорема 5 доказана.
Следствие 1. а) Если [pic], то [pic]; б) если [pic] и [pic], то [pic]; в) если [pic], [pic], [pic], [pic], то

[pic]. (47)

Доказательство.
Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.
Чтобы получить в), положим

[pic],

[pic].
Согласно теореме 5 [pic], [pic], а следовательно, [pic]. Но тогда (для п.в. [pic]) [pic], и из определения класса [pic] мы получим, что

[pic]. (48)
Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание 3.
Если [pic], то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство [pic] совпадает с [pic]. Для р=1 это не так. Пространство [pic] уже, чем [pic], и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций [pic], для которых и [pic].
[pic] - банахово пространство с нормой

[pic]. (49)
Полнота [pic] с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства [pic]: если [pic] при [pic], то [pic], [pic], [pic], и так как [pic]по мере при [pic], то [pic]и [pic] при [pic].
Замечание 4.
Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда [pic], [pic], [pic], [pic].
Отметим также, что, взяв в (47) вместо [pic] функцию [pic] и учитывая б), мы получим

[pic], если [pic]. (50)

§I.4.Произведение Бляшке, нетангенциальная максимальная функция.
Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - [pic] удовлетворяет условию

[pic] , [pic], [pic]. (51)
Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

[pic]. (52)
Для фиксированного [pic], [pic], при [pic] имеет место оценка

[pic]. (53)
Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге [pic], т.е. функция [pic] аналитична в единичном круге и имеет нули в точках [pic], [pic], и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством [pic] ([pic] , [pic]), мы находим

[pic] , [pic]. (54)
Допустим теперь, что [pic] ([pic]) - нули некоторой функции [pic] с [pic], причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

[pic] , [pic]
Функция [pic] ([pic]) аналитична в круге радиуса больше единицы, и [pic], если [pic] . Следовательно, [pic] и согласно п.3 теоремы 4 [pic]. Но тогда

[pic] и

[pic], [pic] (55)
Так как [pic], [pic], то из (55) вытекает сходимость произведения [pic], а значит, и сходимость ряда (51).
ОпределениеI.6.
Пусть [pic] - аналитическая в круге [pic] функция и [pic], [pic] ([pic]) - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также [pic] - кратность нуля функции [pic] при [pic]. Произведение

[pic] (56) называется произведением Бляшке функции [pic].
Справедлива
Теорема 6.
Каждая функция [pic] представима в виде

[pic], где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и

[pic], [pic], а [pic] - произведение Бляшке функции [pic].

Доказательство.
Пусть [pic], [pic] ([pic]) - нули функции [pic] ( или, что то же самое, нули функции [pic]) Тогда, как отмечалось выше, [pic] - аналитическая в круге [pic] функция и

[pic] , [pic]. (57)
При этом функция [pic] также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и [pic] .
Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения
(56):

[pic], [pic], [pic].
Так как [pic] для любого [pic], то по теореме 4

[pic] и

[pic] , если [pic].
Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что
[pic] ([pic]) равномерно по [pic], мы получим

[pic], [pic], т.е. [pic], [pic].
Теорема 6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть [pic], [pic], - произвольное число. Обозначим через [pic], [pic], область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки [pic] к окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при [pic] [pic] вырождается в радиус единичного круга). Для
[pic]положим

[pic] , [pic], где [pic] - интеграл Пуассона функции [pic]. Функция [pic] называется нетангенциальной максимальной функцией для [pic].
В силу теоремы 2

[pic] для п.в. [pic]. (58)
Установим, что для произвольной функции [pic] величина [pic] не превосходит (по порядку) значения максимальной функции [pic]*) в точке х, т.е.

[pic], [pic]. (59)
Нам понадобится утверждение 3. а) если функция [pic], то для любого [pic]

[pic]; б) если функция [pic],[pic] то [pic], где [pic] - постоянная, зависящая только от числа р.

Пусть [pic] и [pic]. По определению интеграла Пуассона

[pic]
Положим [pic]. Тогда будем иметь

[pic] и, в силу неравенства [pic], [pic], и периодичности [pic],

[pic]. (60)
Так как обе функции [pic] и [pic] положительны при [pic] и отрицательны при [pic] ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что [pic], мы получим

[pic]. (61)
Для [pic] имеют место оценки

[pic],

[pic].
Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

[pic] при [pic], (62) если [pic]. Пусть [pic], тогда

[pic].
В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения
3 вытекает, что для любой функции [pic], [pic],

[pic], (63) где [pic] - постоянная, зависящая только от [pic] .
Теорема 7.
Пусть [pic] ([pic]), [pic] и

[pic] , [pic].
[pic]Тогда [pic] и

[pic]. (64)

Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда [pic], есть прямое следствие оценки
(63) и теоремы 4. Пусть теперь [pic]. По теореме 6 [pic], где [pic],
[pic], если [pic] и [pic]. Из функции [pic] можно извлечь корень: существует функция [pic] такая, что [pic], и, следовательно из (64) при р=2, получим

Страницы: 1, 2, 3


© 2010.