рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Автоколебания системы с одной степенью свободы  

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Автоколебания системы с одной степенью свободы Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим случай, когда m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы
 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Начальные условия выберем так:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

F2 - степенной ряд по b 1 b 2, m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Сравнивая коэффициенты при b 1 b 2, m получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Решая задачи Коши, получим:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы  Автоколебания системы с одной степенью свободы

Введем обозначения  Автоколебания системы с одной степенью свободы; для остальных функций аналогично.

Тогда (6) запишется в виде:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Если в этой системе можно b 1 b 2 представить в виде функции m так, чтобы b 1 b 2, m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых m служит неравенство 0 Якобиана.

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

В нашем случае:  Автоколебания системы с одной степенью свободы

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых m и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.

 Автоколебания системы с одной степенью свободы § 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x и x '.

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде  Автоколебания системы с одной степенью свободы  Автоколебания системы с одной степенью свободы функции времени Автоколебания системы с одной степенью свободы Удовлетворяют тому же уравнению, что и x , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

 Автоколебания системы с одной степенью свободы; аналогичным образом можно показать, что  Автоколебания системы с одной степенью свободы (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m .

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

 Автоколебания системы с одной степенью свободыбудем искать в виде:  Автоколебания системы с одной степенью свободы (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим Автоколебания системы с одной степенью свободы

Для В'о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы(14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы(15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a 1, a 2 - характеристические показатели.

Если все  Автоколебания системы с одной степенью свободы , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы=0 (16)
Полагаем  Автоколебания системы с одной степенью свободы;
 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Тогда определитель будет:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (a ), или что все равно ч l ч . Если ч l ч < 1 имеет место устойчивость ч l ч = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ч l ч > 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае l -комплексные; Ѕ l 2 Ѕ =q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.

Случай второй - l - действительные:  Автоколебания системы с одной степенью свободы ; (21) устойчивость соответствует  Автоколебания системы с одной степенью свободы p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12).

 Автоколебания системы с одной степенью свободы(22)

Если принять во внимание (15)

 Автоколебания системы с одной степенью свободы(22a)
 Автоколебания системы с одной степенью свободы(23)

Мы видим, что при достаточно малом m и w № n; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы (23a) § 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда l = m l о; w 2 = 1+ aо m , (24) (aо , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо № 0).

Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

 Автоколебания системы с одной степенью свободы (25)

При m = 0 периодическое решение будет иметь вид :  Автоколебания системы с одной степенью свободы(26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы (27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при b 1 b 2, m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

 Автоколебания системы с одной степенью свободы (29)

Запишем условия периодичности для (27):

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Делим на m :

 Автоколебания системы с одной степенью свободы ( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

 Автоколебания системы с одной степенью свободы (31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b 1, b 2, в виде рядов по степеням m . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

 Автоколебания системы с одной степенью свободы(33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Решение опять будем искать в виде  Автоколебания системы с одной степенью свободы. Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:  Автоколебания системы с одной степенью свободы

Из формул (22)  Автоколебания системы с одной степенью свободы  Автоколебания системы с одной степенью свободы (34) , тогда  Автоколебания системы с одной степенью свободы D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы
 Автоколебания системы с одной степенью свободы (36)
 Автоколебания системы с одной степенью свободы;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D в виде функции P, Q и aо.

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы ; (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m )

1) p2 - q < 0  Автоколебания системы с одной степенью свободы

2) p2 - q > 0  Автоколебания системы с одной степенью свободы

В первом случае устойчивость характеризуется условием q<1 или, что то же самое b<0.

Во втором случае  Автоколебания системы с одной степенью свободы (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin w 1 t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы (39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы(40)

S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения  Автоколебания системы с одной степенью свободы .

Далее, вводя обозначения:  Автоколебания системы с одной степенью свободы

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Получим дифференциальное уравнение для х:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы (41)

А: (случай далекий от резонанса).

Для него применяем результаты § 1, полагая Автоколебания системы с одной степенью свободы.

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Если w > 1, т.е. w о > w 1, то разность фаз равна 0, если w < 1, то разность фаз равна p . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).

 Автоколебания системы с одной степенью свободы(42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В: (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Или преобразовав их, получим следующее:

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Полагая Р = R sin j ; Q = R cos j . Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37).

 Автоколебания системы с одной степенью свободы (46)  Автоколебания системы с одной степенью свободы

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.

1)  Автоколебания системы с одной степенью свободы

a0 - является общим корнем уравнений

 Автоколебания системы с одной степенью свободы

2)  Автоколебания системы с одной степенью свободы

Сама ширина D w , отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: D w = aо w 2о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) l 2о << 1; D w = w о Ро/Vоg.

б) для очень сильных сигналов  Автоколебания системы с одной степенью свободы ( Vоg - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).

Список литературы Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.


© 2010.