рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Билеты по математике  

Билеты по математике

Билеты по математике

Билет №1

  Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая фун-ия z=f(x;y). Разобъём обл. P на n частичных обл. Рi , где i=1…n, возмём произвольную точку обл. (xI;hI) Î Рi , l - наиболь-ший диаметр чатичных обл.

   Построим частичную сумму – сумму Римена.

 Билеты по математике

Определение:

 Билеты по математике

Если существует конечный предел и не зависит от способа делений области на части и от выбора т. (xI;hI) в каждой из частичных областей, то такой предел принято называть двойным интегралом по обл. Р и пишут:

 Билеты по математике

В случае, если фун-ия f > 0 мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла: днойной интеграл – это объём некоторого цилиндрического тела, сверху ограниченного пов-тью z = (x;y), которая проектируется на плоскость XOY в обл. Р, а образующие параллельны OZ. Площадь обл. Р:

 Билеты по математике

Двойной интеграл от f(x;y) имеет многие св-ва, аналогичные св-ам одномерного интеграла.

Св-ва двойного интеграла:

1.Необходимым условием сущ. Двойного интеграла явл. ограниченность ф-ции f в обл. Р, т.е если сущ. интеграл, то f(x;y) – ограниченная.

2.Всякая непрырывная ф-ция, заданная в обл. Р, интегри-руема.

3.Если ф-ция f(x;y) в обл. Р имеет разрывы на конечном числе непрырывных кривых, принадлежащих этой обл., то f интегрирума по обл. Р.

4.Сумма Дарбу:

 Билеты по математике         Билеты по математике

Теорема: Для того, чтобы двойной интеграл от ограниченной обл. Р существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

 Билеты по математике

5.Аддетивность двойного интеграла, т.е., если задана обл.Р некоторой непрырывной кривой разбита на две обл-ти Р1иР2  не имеющих общих точек, то, если двойной интеграл по обл. Р существует, то существуют интегралы относительно по двум областям.

 Билеты по математике

6.Линейность:

 Билеты по математике

7.Если f(x;y) £ g(x;y) для "(x;y)ÎP и ф-ции f и g интегрируемы, то соответственно справедливо неравенство:

 Билеты по математике

9.Если f(x;y) удовлетворяет нер-вам  m £ f(x;y) £ M, то справедливо следующее неравенство:

 Билеты по математике

10.Для двойного интеграла имеет место теорема о среднем: если z = f(x;y) – ф-ция, заданая в обл. Р и такая, что во всех точках этой области выполняется нер-во   m £ f(x;y) £ M, где

 Билеты по математике

то существует число m такое, что справедливо равенство:

 Билеты по математике

В случае непрырывности ф-ции:

 Билеты по математикеВопрос №3 

Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими кривыми: y=j1(x) a £ x £ a – снизу;

y=j2(x) a £ x £ b – сверху;  x = a – слева; x = b – справа;

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема: Если функция f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл

 Билеты по математике

для любого фиксированного xÎ [a ; b] существует одно- мерный интеграл

 Билеты по математике

то тогда существует повторный интеграл

 Билеты по математике

Доказательство:

 Билеты по математике

Обозначим c=inf j1(x)  a £ x £ b; d=max j1(x)  a £ x £ b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]ÉД.  P=RД (раз- ность множеств). Построим вспомогательную функцию

 Билеты по математике

Рассмотрим

 Билеты по математике

Получаем следующее равенство:

 Билеты по математике

Замечание: Пусть теперь область Д ограничена следующими линиями:

 Билеты по математике

x=y1(y) c £ y £ d – слева; x=y2(y) c £ y £ d – справа;

x = c – сверху; x = d – снизу.  И пусть

 Билеты по математике

Тогда аналогично предыдущему можно показать, что существует повторный интеграл и

 Билеты по математике

Если же функция f(x;y) такова, что существует двойной интеграл, существует оба повторных, то одновременно имеют место формулы (1) и (2) и можно пользоваться любой из них.Вопрос №5 

Формула Грина.

 Билеты по математике

Теорема: Пусть задана область Д огран. след. кривыми:

y=j1(x)    a £ x £ b

y=j2(x)    a £ x £ b

x=a   ,   x=b, где ф-ции j1 и j2 непрер. на (a,b). Пусть в этой области задаётся функция P(x,y) – непрер. и имеющая непрер. частную производную:  Билеты по математике, тогда имеет место след. равенство:

 Билеты по математике

Доказательство:

Рассмотрим двойной интеграл, стоящий справа в формуле(1). Т.к. под интегралом стоит непрер. функция, то такой двойной интеграл существует, также существует одномерный интеграл Билеты по математике и его можно вычислить через повторный:

 Билеты по математике

 Теорема: Пусть задана область Д огран.:

 Билеты по математике

y=j1(x)    с £ x £ d

y=j2(x)    c £ x £ d

x=c   ,   x=d. И пусть в этой области задаётся функция Q(x,y) – непрер. и имеющая непрер. частную производную:  Билеты по математике, тогда имеет место след. равенство:

 Билеты по математике

Cкладываем формулы (1) и (2) и получаем следующую формулу Грина для области Д:

 Билеты по математике

D    P(x,y), Q(x,y)  Билеты по математике,  Билеты по математике

 Билеты по математике

Вычисление площадей через крив интеграл

 Билеты по математике

Применим ф. Грина, т.е. выразим его через криволинейный интеграл по границе области.

1. Q = x  P = 0 Билеты по математике

2. Q = 0   P = -y Билеты по математике

Суммируем  1 и 2 : Билеты по математике     

Пример: Вычислить площадь эллипса

 Билеты по математике.

Сделаем замену переменных Билеты по математике              0 £ t £ 2p

 Билеты по математике

Вопрос №6 

Неприрывную кривую назыв. простой кривой (жордановой), если она не имеет точек самопересечения.

Областью называется всякое открытое связаное мн-во, т.е. такое мн-во всякая точка кот. явл. внутренней и любые две точки этого мн-ва можно соединить непрерывной кривой все точки кот. принадлежат данному мн-ву.

Область называется односвязной областью, если внутренность всякой замкнутой кривой содержит только точки данного мн-ва. 

Теорема 1. Пусть Д  ограниченная односвязная область пл-ти x и y, тогда для того чтобы криволинейный интеграл

 Билеты по математике

был равен нулю по любой замкнутой кривой ГÌД, (где P(x,y)  и Q(x,y) непрерыв. И имеет непрерыв. Частные производ.  Билеты по математике и   Билеты по математике) необходимо и достаточно чтобы вып. Такое равенство

 Билеты по математике= Билеты по математике          (2)

f(x,y)eД.

Док-во:  Пусть во всей области Д вып. Равенство (2) и Г произвольная простая замкнутая кривая принадлеж. области Д. Обознач. Через обл. Д1 кот. огранич. Эта кривая Г. Применим к этой области формулу Грина:

 Билеты по математике

 Билеты по математике

Предположим, что интеграл равен нулю, а равенство (2) не вып. По крайней мере в одной точке (x0 ,y0) e Д

 Билеты по математике

 Билеты по математике Билеты по математике

 Билеты по математике

F(x0,y0)>0 , т.к. частные произв. Непрерывны в обл. Д, то ф-ция F(x,y) непрывна в этой обл. , а из этого вытекает , т.к. F(x0,y0)>0, то существует окрестность этой точки такая, что F(x,y)>0 для всех точек лежащих в нутри окр. gr кот. явл. Границей нашей окружности.

Множество точек леж. В этой окр. обознач. Д1 и применим к области Д1 ф-лу Грина:

 Билеты по математике

это показывает, что не сущ. ни одной точки, где бы (2) не выполнялось.  Вопрос №4

Пусть заданы 2 плоскости с введенными в прямоугольник декартовыми системами координат

 Билеты по математике

 XOY и UOV. Пусть в плоскисти XOY задана область DV ограниченная кривой Г, а в плоскости  UOV задана область G ограниченная кривой L

Пусть функция  Билеты по математикеотображает область G в области D, где т.(u,v)e G, а т.(x,y)eD.    

Будем предпологать , что функции x и y такие, что каждой точке области G соответствует точка области D и причем это соответствие такое, что различным точкам области D соответствуют различные области точки G. Причем всякая точка области D имеет единственный прообраз (u,v) в области G.

Тогда существует обратная функции  Билеты по математике 

 которая взаимноодназначно отображает область D в области G. Т.к. заданием двух точек U,V одназначно определяют т.(x,y) в области D, то числа U и V принято называть координатами точек в облати D, но уже криволинейными.

Будем предпологать, что функции x(U,V) и y(U,V) имеют непрерывные частные производные по своим переменным x’y и y’x, x’v и y’v, тогда определитель функции имеет вид:                            

Принято называть якобианом для функций x(U,V) и  y(U,V).

      Можно показать,что площадь области D задана в плоскости XOY может быть выражена в криволинейных координатах следующим образом:

  Билеты по математике- прямолинейном интеграле.

 Билеты по математике                           в криволинейных координатах.

         Замена переменных. 

Теорема: Пусть Z=f(x) – непрерывная функция заданая в области D и область D является образом области G через посредства функций  Билеты по математике, где функции x(U,V) и y(U,V) непрерывные и имеют непрер. Частные производные, тогда справедлива след. Формула замены переменных в двойном интеграле:

 Билеты по математике

Док-во: Разорвем обл.G непер. Кривыми на конечное число частичных областей. Тогда согласно формулам отображающим область G в обл. D. Эти кривые обл. G отображ. В некоторые кривые обл. D, т.е. обл. D будет разбита на конечное число (такое же как и обл. G) частичных подобластей.

 Билеты по математике

Di – подобласти, i=1,2,…,n.

В каждой обл. Di выберем т.(x,y)eDi и составим интегральную сумму Римана для двойного интеграла от функции f обл. D.

 Билеты по математике

Площадь обл. Di выразим в криволинейных координатах

 Билеты по математике

xi=x(Ui,Vi)

yi=y(Ui,Vi)

 Билеты по математике

И того, что интеграл от функции f(x,y)dxdy сущ., то $ lim sn(f) и этот lim не зависит от выбора точек в обл. Di, но тогда в качестве f(xi,yi) может быть взята точка      Билеты по математике

 Билеты по математике

 Билеты по математике

Мы получаем интегральную сумму Римана для  интегр., что стоит справа формулы (1), поэтому переходя к lim в следующем равенстве:

 Билеты по математике 

получим ф-лу (1),  т.к.  суммы стремятся к соответствующему интегралу.Вопрос №2

Теорема: Пусть z = f(x,y) – ограниченная функция, заданная на прямоугольнике R = [a,b;c,d], и существует двойной интеграл по этому прямоугольнику   Билеты по математике

Если для " X [a,b] существует одномерный интеграл

 Билеты по математике

то $ повторный интеграл

 Билеты по математике

Доказательство:

 Билеты по математике

Разобьем отрезки ab и cd отрезками a=x0

© 2010.