рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Геометрические свойства кривых второго порядка  

Геометрические свойства кривых второго порядка

Цель курсовой работы

 

Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.

Постановка задачи

Дано уравнение кривой второго порядка:


.                                    (1)

Задание. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :

I. Определить зависимость типа кривой от параметра  с помощью инвариантов.

II. Привести уравнение кривой при  к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

III. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.

IV. Получить уравнения канонических осей в общей системе координат.

V. Построить график кривой в канонической и общей системах координат.

Получение канонической системы координат. Построение графиков

 

I. Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра


В прямоугольной декартовой системе координат  кривая второго порядка задается в общем виде уравнением:


,


если хотя бы один из коэффициентов , ,  отличен от нуля.

Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:



Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам:


;

;

.


Для данной кривой они равны:

1). Если , то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но . Таким образом, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. При этом , то есть: если , то уравнение (1) определяет параболу.

2). Если, то данная кривая — центральная. Следовательно, при  данная кривая — центральная.

·        Если , то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом . В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если, то уравнение (1) определяет эллипс.

·        Если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

а) Если  и , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:



Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

б) Если  и , то данная кривая — гипербола. Но  при всех  за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу:


Значение параметра β

Тип кривой

Эллипс

Парабола

Гипербола

Две пересекающиеся прямые

Гипербола


II. Переход от общего уравнения кривой к каноническому


Рассмотрим теперь случай, когда, и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при  уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид:


                                         (2.1)


Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты произвольной точки  плоскости в системе координат  и координаты  в новой системе координат  связаны соотношениями


Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим:


                                   (2.2)


Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:


          (2.3)


В уравнении (2.3) коэффициенты при  приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно


                (2.4)


Решив систему (2.4), получим:


Центр кривой  имеет координаты , . Поставим найденные значения  в уравнение (2.3). В новой системе координат  в уравнении (2.3) коэффициенты при  равны нулю и уравнение примет вид


,

.  (2.5)


Так как , то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол  координаты  произвольной точки  плоскости в системе координат  и координаты  в новой системе координат  связаны соотношениями


              (2.6)


Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим



Раскроем скобки и приведем подобные члены


Приводя подобные члены, получим уравнение


                            (2.7)


Теперь выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении  равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла :


.                                                 (2.8)


Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на . Мы можем это сделать, так как , потому что если  (то есть ), то при подстановке  в уравнение (2.8) получим, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Получим уравнение


.              (2.9)


Решая уравнение (2.9), получим


, .


Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: , . Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:


Возьмем для определенности . Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть


,         (2.10)


Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:



и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:



И, соответственно, уравнение


                           (2.11)


— это каноническое уравнение исходной гиперболы.

III. Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой


Пусть  и  — фокусы,  — эксцентриситет,  — центр, а  — директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: , , где  и . Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что , , и значит . Отсюда получаем , .

Эксцентриситет гиперболы (2.11)


.


Директрисы гиперболы задаются уравнениями:  и . Подставляя найденные значения  и , получаем:



Прямые  и  в канонической системе координат  называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:

 

IV. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат


Теперь напишем уравнения осей новой системы в исходной системе координат .

Так как система  — каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — , то есть оси  и проходят через точку .

В пункте II было установлено, что угловой коэффициент оси .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку  с заданным угловым коэффициентом , имеет вид . Следовательно, ось  в системе координат  задана уравнением , или , где в роли точки выступает центр гиперболы точка .

Так как ось  перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент . Следовательно, ось  в системе координат  задана уравнением , или .

 

V. Построение графиков гиперболы


Используя полученные в ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе координат  (см. рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).

Рисунок 1.


Рисунок 2.

Вывод


Таким образом, из вышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить тип кривой второго порядка с параметром , а используя параллельный перенос и поворот осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего вида к каноническому.

Список используемой литературы

1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка.— Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.

2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит , 2002.

3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.— М: Наука, 1966.

4. А.В. Ефремов, Б.П. Демидович. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (Ч. 1). — М.: Наука, 1993.



© 2010.