рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Історія математики Греції  

Історія математики Греції












Реферат

з математики

на тему:

"Історія математики Греції"


Протягом останніх сторіч другого тисячоріччя до н.е. у басейні Середземного моря й у прилягаючих до нього областях дуже багато чого змінилося в економіці і в політиці.

Бронзове століття перемінилося тим нашим століттям, що ми називаємо століттям заліза, і відбувалося це в неясний час переселень і воїн. Лише деякі подробиці відомі нам про цю революційну епоху, але ми знаємо, що до її завершення, приблизно близько 900р. до н. е., уже не було царства Міноса і Хетської держави, значно слабкішими стали Єгипет і Вавілон і на історичній сцені з'явилися нові народи. Найбільш видатними серед них були євреї, ассирійці, фінікійці і греки. Витиснення бронзи залізом означало не тільки переворот у військовій справі, але і прискорення росту економіки завдяки здешевленню засобів виробництва, і це уможливило більш діяльну участь широких шарів суспільства в справах економічного і суспільного значення.

Це позначилося у двох важливих нововведеннях:

заміні незручного письма Стародавнього Сходу легко доступним алфавітом;

веденні карбованої монети, що послужило пожвавленню торгівлі.

Наступив той час, коли культурні цінності вже не могли далі залишатися винятковим надбанням східного чиновництва.

Діяльність "морських розбійників" - так єгипетські тексти характеризують деякі народи, що переселялися - спочатку супроводжувалася чималими культурними втратами. Критська цивілізація зникла, єгипетське мистецтво занепало, наука Вавилону і Єгипту окостеніла на сторіччя. Немає ніяких математичних текстів цього перехідного періоду. Коли положення знову стало стійким, Стародавній Схід оправився, залишаючись в основному вірним традиції, але було розчищено місце для цивілізації цілком нового складу - грецької цивілізації.

Ті міста, що виникли на узбережжя Малої Азії й у самій Греції, уже не були адміністративними центрами країни зрошувального землеробства. Це були торгові міста, де феодали-землевласники старого укладу були приречені на поразку в боротьбі, що їм довелось вести з незалежним, отримавшими політичну самосвідомість класом купців. Протягом сьомого і шостого сторіч до н. е. це купецтво узяло верх, але йому довелося у свою чергу вступити в боротьбу з дрібними торговцями і ремісниками, з демосом.

Підсумком був розквіт грецького поліса, самоврядної міста-держави - нове соціальне явище, цілком відмінне від ранніх міст-держав Шумеру й інших країн Сходу. Найбільш значні з цих міст-держав, склалися в Іонії, на анатолійскому березі. Їхня зростаюча торгівля зв'язала їх із всім узбережжям Середземного моря, із Двуріччям, Єгиптом, зі Скіфією і навіть більш далекими країнами. Довгий час ведуче місце займав Мілет. Але і міста на інших берегах: Коринф, пізніше Афіни у власне Греції, Кротон і Гіарент в Італії, Сіракузи в Сицилії - ставали багатше і значніше. Новий суспільний уклад створив новий тип людини. Купець-мандрівник ніколи ще не користався такою незалежністю, і він знав, що вона добута в завзятій і жорстокій боротьбі. Він ніяк не міг розділяти устояні погляди Сходу. Він жив у період географічних відкриттів, порівнянних тільки з відкриттями західноєвропейського шістнадцятого сторіччя, він не визнавав ні абсолютного монарха, ні влади, що з'являє у виді охоронного божества. А крім того він міг користатися відомим дозвіллям завдяки своєму багатству і праці рабів. Він міг помізкувати про навколишній його світ. Відсутність цілком сталої релігії привело багатьох мешканців цих прибережних міст до містицизму, але це сприяло і протилежному - росту раціоналізму і науковому підходу.

Сучасна математика народилася в цій атмосфері іонійського раціоналізму - математика, що ставила не тільки східне питання "як?", але і сучасне, наукове питання "чому?". Відповідно до переказу батьком грецької математики є мілетський купець Фалес, у першій половині шостого століття Вавілон і Єгипет, що відвідав. Але якщо він навіть цілком легендарна фігура, то за нею коштує щось цілком реальне. Це - образ, що відповідає тим умовам, у яких закладалися основи не тільки сучасної математики, але і всієї сучасної науки і філософії. Спочатку греки займалися математикою, маючи одну основну мету - зрозуміти, яке місце займає у всесвіті людина у рамках деякої раціональної схеми. Математика допомогла знайти порядок у хаосі, зв'язати ідеї в логічні ланцюжки, знайти основні принципи. Вона була найбільш теоретичною з усіх наук.

Безсумнівно, що грецькі купці познайомилися зі східною математикою, прокладаючи свої торгові шляхи. Але люди Сходу майже не займалися теорією, і греки швидко знайшли це. Чому в рівнобедрених трикутниках два кути рівні? Чому площа трикутника дорівнює половині площі прямокутника при однакових підставах і висотах? Такі питання природно виникали в людей, що ставили подібні питання в області космології, біології і фізики.

На жаль, у нас немає першоджерел, що описують ранній період розвитку грецької математики. Уцілілі рукописи відносяться до епохи християнства й ісламу і їх тільки в малій мірі доповнюють замітки в єгипетських папірусах трохи більш раннього періоду. Усе-таки класична філологія дала можливість відновити тексти, що належать до четвертого сторіччя до н.е., і ми завдяки цьому маємо у своєму розпорядженні надійні видання Евкліда, Архімеда, Аполлонія й інших великих математиків античності. Але в цих текстах перед нами вже цілком розвита математична наука, і навіть за допомогою пізніших коментарів по них важко простежити хід історичного розвитку. Про епоху формування грецької математики приходиться судити, ґрунтуючись лише на невеликих фрагментах, що приводяться в більш пізніх добутках, і на окремих зауваженнях філософів і інших не строго математичних авторів. Дуже багато дотепності і праці було вкладено в критику текстів, завдяки чому удалося роз'яснити чимало темних місць у цьому ранньому періоді. Ця робота, пророблена такими дослідниками, як Поль Таннері (Tannery), Хіт (Т.L. Heath), Цейтен (Н. G. Zeuten), Франк (Е. Frank) і ін., дозволяє нам дати у відомій мері зв'язну, хоча в значній частині можливу картину грецької математики в епоху її формування.

У шостому сторіччі до н.е. на руїнах Ассірійської імперії виникла нова велика східна держава - Персія Ахеменідів. Вона завоювала міста Анатолії, але суспільний лад грецької метрополії пустив уже глибокі корені і його не можна було розтрощити. Перська навала була відбита в історичних битвах під Марафоні, Саламине і Платеє. Головним результатом грецької перемоги було розширення й експансія Афін. Тут у другій половині п'ятого сторіччя, при Періклі, вплив демократичних елементів увесь час зростало. Вони були рушійною силою економічної і військової експансії, і близько 430 р. вони зробили Афіни не тільки центром Грецької імперії, але і центром нової і зацікавленої цивілізації - золотого століття Греції.

В обстановці суспільної і політичної боротьби філософи і наставники викладали свої теорії і заодно нову математику. Вперше в історії група критично мислячих, "софістів", менш скована традицією, чим яка-небудь інша попередня їй група вчених, стала розглядати проблеми математичного характеру скоріше з метою з'ясування їхньої суті, чим заради користі.

Тому що такий підхід дозволив софістам дійти до основ точного мислення взагалі, було б надзвичайно повчально познайомитися з їхніми міркуваннями. До нещастя, від цього періоду дійшов лише один цільний математичний фрагмент, що належить іонійскому філософу Гіппократові з Хіоса. Математичні міркування в цьому фрагменті на дуже високому рівні, і досить типово те, що в ньому розглядається зовсім "непрактичний", але теоретично істотне питання про так званих луночок - плоскі фігури, обмежених двома круговими дугами.

Це питання - знайти площу таких луночок, у яких площа раціонально виражається через діаметр, - має пряме відношення до центральної проблеми грецької математики - квадратурі кола. Аналіз цієї проблеми в Гіппократа показує, що в математиків золотого століття Греції була упорядкована система плоскої геометрії, у якій у повному обсязі застосовувався принцип логічного висновку від одного твердження до іншого ("апагоге"). Були закладені основи аксіоматики, на що вказує назва приписуваної Гіппократові книги "Початку" ("Stoіcheіa"), назва всіх грецьких аксіоматичних трактатів, включаючи трактат Евкліда. Гіппократ досліджував площі плоских фігур, обмежених як прямими лініями, так і дугами окружності. Він учить, що площі подібних кругових сегментів відносяться, як квадрати стягуючих їхніх хорд. Він знає теорему Піфагора, а також відповідна нерівність для непрямокутних трикутників. Весь його трактат уже міг би бути віднесений до евклідової традиції, якби він не був старше Евкліда більш ніж на сторіччя.

Проблема квадратури кола - одна з "трьох знаменитих математичних проблем античності", що у цей період стали предметом дослідження.

Ці проблеми такі:

1) Трисекція кута, тобто поділ будь-якого заданого кута на три частини.

2) Подвоєння куба, тобто визначення ребра такого куба, що мав би обсяг, удвічі більший обсягу заданого куба (так звана делійська задача).

3) Квадратура кола, тобто перебування такого квадрата, площа якого дорівнює площі даного кругу.

Значення цих проблем у тім, що їх не можна точно вирішувати геометрично за допомогою кінцевого числа побудов прямих ліній і окружностей - це можна зробити тільки приблизно, - внаслідок чого ці , проблеми стали засобом для проникнення в нові області математики. У зв'язку з цими проблемами були відкриті конічні перетини, деякі криві третього і четвертого порядку і трансцендентна крива, названа квадратриссою. Ми не повинні з упередженням підходити до питанню про значення цих проблем через те, що інший раз вони з'являлися у виді анекдоту (дельфійські пророцтва і т.п. ). Не раз траплялося, що основної важливості питання викладали у виді чи анекдоту головоломки - згадаємо про яблуко Ньютона.

Математики різних епох, включаючи нашу, показали, який зв'язок існує між цими грецькими проблемами і сучасною теорією рівнянь, зв'язок, що торкається питання про області раціональності, алгебраїчні числа і теорію груп.

Ймовірно, від групи софістів, що до деякої міри були зв'язані з демократичним рухом, відмежувалася інша група філософів з математичними інтересами, що примикав до аристократичних об'єднань. Вони називали себе піфагорійцями на честь засновника цієї школи Піфагора, що, приблизно, був містиком, ученим і державним діячем аристократичної користі. Софісти в більшості підкреслювали реальність змін, піфагорійці прагнули знайти в природі і суспільстві незмінне. У пошуках вічних законів світу вони вивчали геометрію, арифметику, астрономію і музику. Найвидатнішим їхнім представником був Архіт з Тарента, що жив близько 400 р. до н.е. і школі якого, якщо ми приймемо гіпотезу Франка (Е. Frank), варто приписати велику частину "піфагорійської" математики. Арифметика піфагорійців була найвищою мірою спекулятивною наукою і мала мало загального із сучасної їй обчислювальною технікою Вавилона. Числа розбивалися на класи: парні, непарні, непарно-парні, непарно-непарні, прості і складені, зроблені, дружні, трикутні, квадратні, п’ятикутні і т, д. Деякі з найбільш цікавих результатів отримані для "трикутних чисел", що зв'язують арифметику і геометрію:



термін „квадратні числа” пішов від побудов піфагорійців:



Самі фігури значно старше, адже деякі з них ми знаходимо в неолітичній кераміці. Піфагорійці ж досліджували їхньої властивості, внесли сюди наліт свого числового містицизму і зробили числа основою своєї філософії всесвіт, намагаючись звести всі співвідношення до числового ("усі є число"). Крапка була "поміщеною одиницею".

Піфагорійцям були відомі деякі властивості правильних багатокутників і правильних багатогранників.

Вони показали, як заповнити площину системою правильних трикутників, чи квадратів, чи правильних шестикутників, а простір - системою кубів. Згодом Арістотель намагався доповнити це невірним твердженням, що простір можна заповнити правильними тетраедрами). Можливо, що піфагорійці знали правильний октаедр і додекаедр - останню фігуру тому, що кристали піриту, що знаходяться в Італії, мають форму додекаедра, а зображення таких фігур у орнаментах як магічний символ відноситься ще до часів етрусків. Вони належать до кельтських племен Центральної Європи початку епохи залізного віку ( 900 р. до н.е. ) і пізніше (пірит був джерелом заліза).

Що стосується теореми Піфагора, піфагорійці приписували її своєму наставнику і передавали, що він приніс у жертву богам сто биків на подяку. Ми вже бачили, що ця теорема була відома у Вавилоні часів Хаммураппі, але дуже можливо, що перший загальний доказ був отриманий у школі піфагорійців.

Найбільш важливим серед приписуваних піфагорійцям відкриттів було відкриття ірраціонального у виді непорівнянних відрізків прямої лінії. Можливо, що воно було зроблено в зв'язку з дослідженням геометричного середнього a:b = b:c, величиною, що цікавила піфагорійців і служила символом аристократії. Чому дорівнює геометричне середнє одиниці і двійки, двох священних символів? Це вело до вивчення відносини сторін і діагоналі квадрата, і було виявлено, що таке відношення не виражається "числом", тобто тим, що ми тепер називаємо раціональним числом (цілим чи числом дробом), а тільки такі числа допускалися піфагорійською арифметикою.

Припустимо, що це відношення дорівнює р : q, де цілі числа р и q ми завжди можемо вважати взаємно простими. Тоді р2 = 2q отже, р2, а з ним і р - парне число, і нехай р = 2r. Тоді q повинно бути непарним, але, тому що q2 = 2r2, воно повинно бути також парним. Таке протиріччя дозволялося не розширенням поняття числа, як на чи Сході в Європі епохи Відродження, а тим, що теорія чисел для таких випадків відкидалася, синтез же шукали в геометрії.

Страницы: 1, 2, 3


© 2010.