рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Вариации при исчислении  

Вариации при исчислении

1. Элементы вариационного исчисления

 

1.1 Понятие функционала и оператора


В курсе высшей математики вводилось понятие функции. Если некоторому числу x из области D ставится в соответствие по определенному правилу или закону число y, то говорят, что задана функция y = f(x). Область D называют областью определения функции f(x).

Если же функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону число J, то говорят, что задан функционал J = J(y). Примером функционала может быть определенный интеграл от функции y(x) или от некоторого выражения, зависящего от y(x),



Если теперь функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону вновь функция z(x), то говорят, что задан оператор z = L(y), или z = Ly.

Примерами дифференциальных операторов могут служить:



Дадим более строгое определение функционала. Пусть A - множество элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу u є A приведено в соответствие одно и только одно число J(u). В этом случае говорят, что на множестве A задан функционал J. Множество A называется областью определения функционала J и обозначается через D(J); число J(u) называется значением функционала J на элементе u. Функционал J называется вещественным, если все его значения вещественны. Функционал J называется линейным, если его область определения есть линейное множество и если


J (αu + βv) = αJ(u) + βJ(v).


1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала


Рис. 1.1

 

Задача о брахистохроне

Зарождение вариационного исчисления относят обычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу о брахистохроне: точки А (0,0) и В (а, b) расположены в вертикальной плоскости (xy) (рис. 1). Какова должна быть кривая, лежащая в плоскости (xy) и соединяющая точки А и В, чтобы материальная точка, двигаясь без трения, скатывалась по этой кривой из точки А в точку В в кратчайшее время?

Искомая кривая и была названа брахистохроной.

Пусть уравнение кривой АВ есть y = u(x). Рассмотрим некоторый момент времени t, и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии y от оси x. Тогда , где v - скорость движущейся точки, g - ускорение силы тяжести. В то же время



Отсюда


.


Обозначим через Т время, в течение которого материальная точка достигает точки В. Интегрируя, находим


       (1.1)


Задача сводится к следующему: надо найти функцию y = u(x), удовлетворяющую условию


u(0) = 0; u(а) = b (1.2)


и сообщающую интегралу (1.1) наименьшее значение. Условия (1.2) означают, что искомая кривая должна проходить через заданные точки А и В. Такого типа условия принято называть граничными, или краевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна быть определена искомая функция.

Примером применения кривой в виде брахистохроны служит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детских площадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах.

Задача о наибольшей площади

Сформулируем эту задачу так: среди всех плоских кривых, имеющих данную длину  и оканчивающихся в точках А (а, 0) и В (b, 0), найти кривую, ограничивающую вместе с отрезком [а, b] оси x область с наибольшей площадью.

Пусть уравнение кривой будет y = u(x). Задача заключается в том, чтобы найти функцию u(x), удовлетворяющую краевым условиям


u(а) = u(b) = 0     (1.3)


и тождеству


       (1.4)


и сообщающую интегралу


     (1.5)


наибольшее значение.

Общим для рассмотренных задач является то, что каждый раз ищется функция, удовлетворяющая тем или иным поставленным условиям и сообщающая экстремальное значение заданному функционалу.

Приведенные здесь задачи относятся к ветви математического анализа, называемой вариационным исчислением.



1.3 Постановка задачи вариационного исчисления


Задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найти элемент u0 є D(J), сообщающий функционалу либо минимальное значение


,  (1.6)


либо максимальное значение


.  (1.7)


Задача о максимуме функционала J тождественна с задачей о минимуме функционала - J, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только задачу о минимуме функционала J.

В приведенной общей формулировке задачу вариационного исчисления решить вряд ли возможно, поэтому наложим на функционал J некоторые ограничения.

Будем считать, что D(J) есть часть некоторого пространства Х. Чтобы сформулировать дальнейшие ограничения, введем понятие линейного многообразия. Пусть М - линейное множество элементов пространства Х и ū - некоторый фиксированный элемент этого пространства. Линейным многообразием в пространстве Х назовем совокупность элементов, каждый из которых можно представить в виде


u = ū + η, ηєМ.    (1.8)


Если ūєМ, то, очевидно, так определенное линейное многообразие совпадает с М.

Требование 1. Область определения D(J) функционала J есть линейное многообразие.

Будем считать также, что пространство Х бесконечномерно. Тогда в Х линейное множество М также бесконечномерно и, следовательно, из него можно выделить конечномерное подпространство.

Требование 2. Если η пробегает любое конечномерное подпространство, содержащееся в М, то на этом подпространстве функционал J(u) = J (ū + η) непрерывно дифференцируем достаточное число раз.

Введем понятие об абсолютном и относительном минимуме функционала. Функционал J достигает на элементе u0 є D(J) абсолютного минимума, если неравенство


J(u0) = J(u) (1.9)


Справедливо для любого элемента u є D(J). Тот же функционал достигает на элементе u0 относительного минимума, если неравенство (9) справедливо для элементов u є D(J), достаточно близких к u0.

Абсолютный минимум называют еще сильным минимумом, а относительный - слабым.

Существует аналогия между нахождением минимума функции и минимума функционала. При нахождении минимума функции первая производная функции приравнивается к нулю и находится точка, подозрительная на экстремум. Затем с помощью второй производной проверяется достаточное условие экстремума. При нахождении минимума функционала находится первая вариация функционала и приравнивается к нулю. В результате получаем необходимое условие экстремума функционала. Для проверки достаточного условия экстремума функционала находится вторая вариация функционала.


1.4 Первая вариация и градиент функционала


Будем рассматривать функционал J, подчиненный требованиям 1, 2. Возьмем произвольный элемент u є D(J) и произвольный элемент η є М. Обозначим через α произвольное вещественное число. Нетрудно видеть, что элемент


u + αη є D(J).       (1.10)


Составим выражение J (u + αη). В силу требования 2 J (u + αη) есть непрерывно дифференцируемая функция от α. Вычислим ее производную и возьмем значение этой производной при α = 0


.  (1.11)


В результате получим число, которое можно рассматривать как значение функционала (11), зависящего от двух элементов u и η.

Определение. Функционал



называется первой вариацией функционала J на элементе u и обозначается символом δJ (u, η):


.  (1.12)


При этом разность двух функций u є D(J) и u1 є D(J) называют вариацией функции u и обозначают δu = u(х) - u1 (х).

Пример. Найти первую вариацию функционала


                 (1.13)


область определения которого D(J) состоит из функций, удовлетворяющих следующим условиям: uС(1) [a, b] и


u(а) = А, u(b) = В,        (1.14)


где А и В-заданные постоянные. Условия (14) означают, что кривые у = u(х), где uD(J), проходят через две фиксированные точки (а, А) и (b, В).

Несложно показать, что функционал (13) удовлетворяет оговоренным выше двум требованиям, кроме того, он удовлетворяет требованию 3.

Требование 3. Вариация δJ (u, η) - не только однородный, но и аддитивный функционал от η.

Составим вариацию функционала (1.13)


    (1.15)


Можно показать, что интеграл:


     (1.16)


есть ограниченный функционал от η, при этом считаем, что η(х) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям:


η(а) = η(b) = 0.    (1.17)


В этом случае интеграл (1.16) можно взять по частям



Таким образом, интеграл (1.15) можно записать в виде


.         (1.18)


Здесь u + αη - u = αη = δu u можно записать


    (1.19)


Вариацию δJ (u, η) можно записать в виде


δJ (u, η) = (Рu, η).         (1.20)


Определение. Оператор Р, определенный формулой (1.20), называется градиентом функционала J(u) и обозначается символом

Р = grad J.

Если uD(Р), то вариацию функционала J(u) можно записать в виде


δJ (u, η) = (grad J(u), η)          (1.21)


Здесь взяли α = 1, чтобы не загромождать запись. В выражении (1.18)


.


1.5 Необходимое условие минимума функционала


Пусть функционал J достигает на некотором элементе u0 относительного минимума. Возьмем произвольный элемент ηМ и произвольное вещественное число α. По определению относительного минимума при достаточно малых значениях α


J(u0 + αη)J(u0)   (1.22)


Это неравенство означает, что функция одной вещественной переменной α, равная J(u0 + αη), имеет при α0 = 0 относительный минимум. Но тогда необходимо



или, что то же


δJ(u0, η) = 0         (1.23)


Если функционал в некоторой точке достигает минимума, то в этой точке первая вариация функционала равна нулю. В этом заключается необходимое условие экстремума функционала.


1.6 Уравнение Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами


Рассмотрим основную лемму вариационного исчисления.

Лемма Лагранжа.

Пусть f (х, у) - функция, непрерывная в области D с контуром Г. Если


η (х, у) dxdy = 0   (1.24)


для любой функции η (х, у), непрерывной в области D вместе со своими частнымы производными до n-го порядка включительно и обращающейся в нуль на границе Г (η (х, у)|Г = 0), то

f (х, у) = 0.

Для примера, рассмотренного в 1.4, было получено в точке минимума функционала (1.13) условие


        (1.25)


Исходя из леммы Лагранжа, можем записать


.    (1.26)


Если условие (1.25) записать в виде


,


то очевидно, что δu (вариация искомой функции) - функция неравная нулю на отрезке (а, b), поэтому должно выполняться условие (1.26).

Уравнение (1.26) можно еще записать в виде

Уравнение (1.26) называют уравнением Эйлера. Если предположить существование непрерывной второй производной от u(х), то уравнение (1.26) можно записать в виде


.


Таким образом, условие минимума функционала (1.13) при условии (1.14) приводит к краевой задаче для уравнения Эйлера (1.26) при тех же условиях (1.14), т.е. Существует тесная связь между вариационной задачей о минимуме функционала и краевой задачей для уравнения Эйлера для этого функционала.

Решения уравнения Эйлера (1.26), удовлетворяющие условиям (1.14) называют экстремалями функционала (1.13).


1.7 Пути решения вариационных задач


Один из путей решения вариационной задачи, т.е. задачи нахождения минимума некоторого функционала J(u) при заданных краевых условиях, состоит в сведении этой задачи к краевой задаче для дифференциального уравнения при тех же краевых условиях, которое является уравнением Эйлера для этого функционала, с последующим решением этой задачи.

Второй путь решения вариационной задачи состоит в применении вариационных методов, которые позволяют приближенно найти функцию u0, дающую минимум функционалу J(u), и удовлетворяющую заданным краевым условиям.

Рассмотрим несколько примеров решения задач вариационного исчисления, основанных на нахождении уравнений Эйлера с последующим их решением.

Пример 1.

Найти функцию у = u(х), удовлетворяющую условию


u(0) = u(1) = 0     (1.27)


и дающую минимум функционалу


         (1.28)


Будем считать, что функция u(х) непрерывна и имеет непрерывные производные до второго порядка включительно.

Уравнение Эйлера для функционала (28) будет иметь вид


              (1.29)


Таким образом, получили краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения (1.29) будет иметь вид


.


Для нахождения произвольных постоянных с1 и с2 воспользуемся краевыми условиями (1.27). В результате получим



Откуда


Следовательно, функция, дающая минимум функционалу (1.28) при условии (1.27), будет иметь вид

Страницы: 1, 2


© 2010.