рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Великая теорема Ферма – два коротких доказательства  

Великая теорема Ферма – два коротких доказательства

Великая теорема Ферма – два коротких доказательства


Бобров А.В.

123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15

Контактный телефон – 193-42-34

         Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом:

         В равенстве  числа  и   не могут быть одновременно целыми положительными, если .

         Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:

·        Равенство справедливо для взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел  и , т.е. два числа – всегда нечетные.

·        Существуют числа  и , или , то есть для произвольно выбранных натуральных  существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел  и , удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых  числа  и  также будут целыми.

Вариант№1

         Равенство                                                                (1)

путем последовательного деления на числа  и  всегда преобразуется в два многочлена (уравнения) -ой степени относительно :

                    (2)

                   (3)

Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел  и . По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться:

, , … ,                       (4)

Из (1) и (4) следует ,  то есть число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых , ,  и .

         Из равенства свободных членов следует:

, или  ,  или

               (5)

Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим:

                   (6)

или, если , сократив на , получим:

                     (7)

         Из равенства (7) следует, что для  числа  и  не могут быть одновременно положительными.

         Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы:

·        для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при  число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных , ,  и ;

·        многочлены (2) и (3) для   и натуральных  и  не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители  и  равенства (1) являются иррациональными, откуда следует иррациональность числа ;

·        числа ,  и  в равенстве (1) для  не могут быть одновременно рациональными.

         Для  противоречие исчезает, коэффициенты при   равны 1, а равенство свободных членов после подстановки значений  и  обращается в тождество:

                                     .                                               (8)

         Если правую и левую части равенства (5) обозначить соответственно через  и , где  и  - целые положительные числа, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно :

                               

                             (9),

где неизвестное  обозначено общепринятым образом через , то есть .

 Из условий эквивалентности или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.

         Это доказательство опубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории естествознания и техники», №3.

         Со стороны оппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, что в используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величины зависят друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическое выражение, в котором присутствуют известные и неизвестные величины, есть выражение зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобным опровержением.

Вариант№2         

         Пусть в равенстве            числа  и  - взаимно простые,  - нечетное. Для любых положительных чисел выполнима операция нахождения арифметического значения квадратного корня, то есть можно записать:

                                                                     (1)

где  ,   - действительные положительные множители числа .

Из (1) следует:

                                     ,                                (2)

         В соответствии со свойствами показательной функции, для действительных положительных чисел ,  и целого  существуют единственные значения показателей степени , удовлетворяющие равенствам:

                                               ,                                           (3)

где  ,  .

Из (3) следует  , , или после сокращения на числа  ,   получим:

                                                                                                     (4)

         Из (1), (2) и (3) следует:

                            ,                       (5)

или, с учетом равенств (3) и (4):

                                         (6)

Вынесем за скобки общий множитель :

                                                     (7)

         Из (5) и (7) следует, что числа ,  и  содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты, если . Из  следует , , то есть , , и равенства (5) и (7) принимают вид:

                                                                  (8)

         Из (8) следует, что при нечетном  числа  и  также целые, причем всегда имеет место тождество:

                                                                                                 (9)

что для одновременно целых ,  и  выполнимо только при  ,  или  , , что и требовалось доказать.

         Доказательство можно вести и несколько иным способом. Все числа равенства , где ,  и  - произвольно выбранные натуральные числа,  - действительное положительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в виде слагаемых тождества (5).

         Вынесем за скобки множитель  и поделим на него все слагаемые тождества (5):

                                                                              (10)

где  .

         В соответствии со свойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным числам ,  и , например из равенства (5), соответствует единственное значение , удовлетворяющее условию:

                                                                                              (11)

тогда                             ,                                          или

                                                                                                (12)

где  ,  и  - целые числа.

         Из (10), (11) и (12) следует:

                                                                                                  (13)

то есть числа  и  могут быть одновременно целыми только при , или  , . При  числа  и  есть последовательные целые числа. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут быть найдены с помощью тождества (10) для любых целых  и нечетных .

         Отметим, что равенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель , при этом число  в этих равенствах одно и то же, откуда следует , , , и тождество (10) принимает вид тождества (8).

         Отметим также, что тождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений . Подставляя вместо  любую рациональную дробь и полагая , можно найти все Пифагоровы числа.

         Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству (13), что и доказывает теорему.

         Я счел необходимым в дополнение к размещенному на сайте http://www.allbest.ru/ доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является более развернутым.


А.В.Бобров

          

  

Великая теорема Ферма


         Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время – пенсионер.

         Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15.

Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15






































The evidence of the Fermat theorem


Alexander V. Bobrov

The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is presented




© 2010.