рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Вклад Л.Эйлера в совершенствование математического анализа  

Вклад Л.Эйлера в совершенствование математического анализа

План


Введение

1 Понятие математического анализа. Исторический очерк

2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

3 Дальнейшее развитие математического анализа

Заключение

Список литературы


Введение


Л. Эйлер - самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.

Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731-1741 и начиная с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики по математике (С. К. Котельников), и по астрономии (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Л.Эйлер внес очень большой вклад в развитие математического анализа.

Цель реферата - изучить историю развития математического анализа в XVIII веке.


1 Понятие математического анализа. Исторический очерк


Математический анализ - совокупность разделов математики <#"1.files/image001.gif">,


достигающее экстремальных значений в точках перегиба <#"1.files/image002.gif">. В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты


,


в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученные их классы - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты.

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:



а отсюда



Полагая и z = nx, он получает


,


отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу


.


Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение. В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона <#"1.files/image009.gif">, которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер трактует понятие интеграла так:

«Та функция, дифференциал которой = Xdx, называется его интегралом и обозначается знаком S, поставленным спереди».

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ-функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби <#"1.files/image010.gif">,


коэффициенты которого будут новыми функциями x. Остаётся назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f'(x). Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что


,


поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f(x), то есть


и т. д.[24] <#"1.files/image013.gif">


доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f(x). Против этого примера Пуассон <#"1.files/image014.gif">. Лишь в конце XIX века Прингсхейм <#"1.files/image015.gif">.


В XVIII веке <http://ru.wikipedia.org/wiki/XVIII_%D0%B2%D0%B5%D0%BA> были разработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5>, обыкновенные дифференциальные уравнения <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%8B%D0%BA%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F> и дифференциальные уравнения в частных производных <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85>, преобразования Фурье <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5> и производящие функции <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%89%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8>. На фундаменте анализа возникла математическая физика <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0>, аналитические методы глубоко проникли в геометрию и даже в теорию чисел <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB>.

В XIX веке <http://ru.wikipedia.org/wiki/XIX_%D0%B2%D0%B5%D0%BA> Коши <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8,_%D0%9E%D0%B3%D1%8E%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BD_%D0%9B%D1%83%D0%B8> первым дал анализу твёрдое логическое обоснование, введя понятие предела последовательности <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8>, он же открыл новую страницу комплексного анализа <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7>. Пуассон <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%83%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%BD>, Лиувилль <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%83%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D1%8C,_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84>, Фурье <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD_%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84> и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7>.

В последней трети XIX века <http://ru.wikipedia.org/wiki/XIX_%D0%B2%D0%B5%D0%BA> Вейерштрасс <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB> произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование недостаточным, и предложил классическое определение предела <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8> через ε-δ-язык. Он же создал первую строгую теорию множества <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE> вещественных чисел <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE>. В это же время попытки усовершенствования теоремы <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0> об интегрируемости по Риману <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB> привели к созданию классификации разрывности <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F> вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5>, заполняющие пространство кривые <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F>). В связи с этим Жордан <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%96%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%BD> разработал теорию меры <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0>, а Кантор <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3> - теорию множеств <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2>, и в начале XX века <http://ru.wikipedia.org/wiki/XX_%D0%B2%D0%B5%D0%BA> математический анализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX века стала разработка нестандартного анализа <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7> как альтернативного подхода к обоснованию анализа.


Заключение


Завершая работу над рефератом можно прийти к выводу, что математический анализ - это совокупность разделов математики <http://articles.gourt.com/ru/математика>, посвященных исследованию функций <http://articles.gourt.com/ru/функция%20(математика)> и их обобщений методами дифференциального <http://articles.gourt.com/ru/дифференциальное%20исчисление> и интегрального <http://articles.gourt.com/ru/интегральное%20исчисление> исчислений. В него также входят теории функций действительного и комплексного переменного, теория дифференциальных уравнений <http://articles.gourt.com/ru/теория%20дифференциальных%20уравнений>, вариационное исчисление <http://articles.gourt.com/ru/вариационное%20исчисление> ряд других математических дисциплин.

Большой вклад в развитие математического анализа внес Л.Эйлер. Он принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.


Список литературы


1.       Артемьева Т. В. Леонард Эйлер как философ <http://www.ideashistory.org.ru/pdfs/07euler.pdf> // Философия в Петербургской Академии наук XVIII века <http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/456>. - СПб.: 1999. - 182 с.

2.      Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках <http://www.mccme.ru/free-books/gindikin/index.html>. - 3-е изд., расш. - М.: МЦНМО <http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1016236>, 2001. - 465 с.

3.      Делоне Б. Н. <http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/12126> Леонард Эйлер <http://kvant.mccme.ru/1974/05/leonard_ejler.htm> // Квант <http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/8106>. - 1974. - № 5.

4.      К 250-летию со дня рождения Л. Эйлера: Сборник. - Изд-во АН СССР, 1958.

5.      Летопись Российской Академии наук. Том 1. 1724-1802. - М.: Наука, 2000.

6.      Математика XVIII столетия <http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm> / Под редакцией А. П. Юшкевича <http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/236450>. - М.: Наука, 1972. - Т. 3. - (История математики в 3-х томах).

7.      Полякова Т. С. Леонард Эйлер и математическое образование в России. - КомКнига, 2007. - 184 с.

8.      Прудников В. Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. - 1956.

9.      Юшкевич А. П. <http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/236450> История математики в России. - М.: Наука, 1968.



© 2010.