рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора  

Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора











КУРСОВА РОБОТА



"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора"














Запоріжжя 2010


1.                Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами


Нехай  і  два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення , яке ставляє у відповідність кожному вектору  простору  деякий вектор  простору , будемо називати оператором , діючий із  в . Якщо  є образом вектора , то пишуть .

Оператор  називається лінійним, якщо виконуються дві умови:

1.  (властивість адитивності);

2.  (властивість однорідності);

Тут довільно взяті вектори простору , довільно комплексне число.

Позначимо через  множина всіх лінійних операторів, діючих із  в . Два лінійних оператора  і  будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору  простору . Визначимо тепер операцію додавання із множини  і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів  і  розуміють оператор  такий, що для будь – якого вектора  простору


.


Під добутком лінійного оператора  на комплексне число  розуміють оператор  такий, що для любого вектора  простору



Неважко переконатися в тому, що оператори  і  лінійні.

Оператор  називається нульовим, якщо для будь – якого вектору  простору  .

Щоб переконатися, що оператор  лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів  простору  мають місце рівності  і . Так як будь – якому вектору простору  оператор  ставить у відповідність вектор , то  . Як наслідок, - лінійний оператор.

Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору . Оператор –  називається протилежним оператором , якщо . Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору  із  і що  лінійний оператор.

Введені на множині  лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:


1.,

2. ,


3. існує один лінійний оператор  такий, що для будь – якого лінійного оператора  із  

4. для кожного оператора  існує єдиний оператор –  такий, що .

Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини  випливає, що множина  по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості  .

Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини  дозволяє стверджувати, що множина  є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.

2.                Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V

 

В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору  в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із  в .

Назвемо тотожнім (одиничним) оператор  такий, що для любого вектора  простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор  – лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор  – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора  з , існує ще один тотожний оператор , тоді для будь-якого  будемо мати , , очевидно, , тобто .

Введемо операцію множення операторів. Нехай  та  – два будь-яких лінійних оператора з , а  – довільний вектор простору . Очевидно вектор , тому цей вектор можна привести за допомогою оператора . В результаті вектор  буде перетворений до вектору . Оператор, який приводить довільний вектор  простору  у вектор , називається добутком операторів  та  і позначається так: . За означенням добутку операторів  і   для будь-якого вектору . Легко перевірити, що  , , де  – довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто . Зауважимо, що .


Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості


1) , 3) ,

2) , 4) .


Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість . Нехай  – довільний вектор простору . Для довільного вектору  простору за означенням добутку і суми операторів має



Таким чином, , тобто .

Якщо для оператору  можна вказати такий лінійний оператор , що , то оператор  називають оберненим для оператору . Можна показати, що оператор  – єдиний.

Покажемо, що оператор , що має обернений, перетворює ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо , то й . Спочатку доведемо, що . Дійсно, так як  – лінійний оператор, то для будь-якого  . Доведене твердження справедливе для будь-якого лінійного оператора, в тому числі і для оператора, що має обернений, і для оператора . Нехай  і . Так як оператор  має обернений, то , тобто . Якщо припустити, що деякому  відповідає вектор , тоді на основі установлених рівностей  і виходило б, що . А це заперечує початковому фактові, що . З цього випливає, що припущення про те, що для деякого  , невірно, тому для будь – якого  .

Доведемо ще одну властивість оператора , що має обернений. Такий оператор два різних вектора  та  перетворює у два різні вектори  і . Дійсно, якщо припустити противне, що існують такі нерівні один одному  і , для яких , тоді для таких  і   або, що те саме . За умовою оператор  має обернений. За доведеною вище властивістю такого оператора із рівності  випливає, що , тобто . Ми прийшли до протиріччя з тим фактом, що за умовою . З цього випливає, що будь – яким двом різним векторам  і  відповідають різні образи  і .

Оператор  називають взаємно – однозначним, якщо два будь – які різні вектори  і  він перетворює у різні вектори  і . Із наведеного вище випливає, що оператор , що має обернений, є взаємно – однозначним. Для взаємно – однозначного оператора неважко довести таку властивість: якщо , то і . Покажемо, що взаємно – однозначний оператор  лінійно незалежні вектори , , …,  перетворює в лінійно незалежні вектори , , …, . Для доведення цього твердження скористаємося методом «від противного». Припустимо противне, що вектори , …,  – лінійно незалежні. Тоді можна знайти такі не рівню нулю числа,  що . Так як оператор  – лінійний, то .

Звідси за властивістю взаємно-однозначного оператора , тобто вектори , , …,  виявляються лінійно залежними. Протиріччя з умовою ствердження означає, що вектори , , …,  лінійно незалежні.

Із доведеного випливає, що будь-який вектор  простору  має єдиний прообраз  такий, що . Доведемо тільки єдність прообразу вектора . Дійсно, якщо припустити, що вектор  має декілька різноманітних прообразів, наприклад,  і , то виявиться, що . Звідси , маємо , так як оператор взаємно-однозначний. Отже, якщо оператор  – взаємно-однозначний, то кожному вектору  простору  він ставить у відповідність один і тільки один вектор . Звідси випливає, що взаємно-однозначний оператор має обернений.

Підводячи підсумок сказаному вище про властивості оберненого і взаємно-однозначного операторів, сформулюємо наступне твердження.

Теорема 2.1. Для того, щоб лінійний оператор  мав обернений необхідно і достатньо, щоб він був взаємно-однозначним.

Введемо поняття ядра й образу оператора. Ядром лінійного оператора  називають таку множину  векторів простору , що для любого  . Відомо, що будь-який лінійний оператор приводить вектор  в , тобто , тому ядро довільного лінійного оператора не є пустою множиною, так як воно завжди містить оператор .

Теорема 2.2. Якщо  містить єдиний вектор , то оператор  є взаємно-однозначним.

Доведення. Нехай - два довільно взятих вектора лінійного простору. Якщо показати, що , то це буде означати, що оператор  є взаємно-однозначним. Припустимо противне, що знайдуться два вектора  і , такі, що , а . Тоді для цих векторів . За умовою теореми  складається із єдиного вектора , тобто для вектора  і тільки для нього . В силу цього  чи . Ми прийшли до протиріччя з припущенням про те, що . Тому для будь-яких не рівних один одному векторів  і  простору  . Отже, твердження теореми вірне.

Теорема 2.3. Для того, щоб оператор  мав обернений, необхідно і достатньо, щоб .

Доведення цієї теореми основується на теоремах 2.1 і 2.2 про обернений оператор і ядро взаємно-однозначного оператора.

Образом оператора  називається множина всіх векторів простору , кожний з яких має прообраз, тобто якщо , то існує такий вектор , що . Легко побачити, що якщо  містить тільки нульовий вектор, то  є весь лінійний простір : . Дійсно, якщо , то оператор  є взаємно-однозначним. За доведеною вище властивістю взаємно-однозначного оператора кожний вектор  простору  має єдиний прообраз : , так що .

Покажемо тепер, що множина  для довільного лінійного простору  є підпростором лінійного простору . Нехай  і  – два довільно взятих вектори множини . Так як , то . Нехай  – довільне число. Так як , то . Таким чином, лінійні операції над будь-якими векторами множини  дають вектори тієї ж множини, тобто  – підпростір простору .

Аналогічним способом доводиться, що множина  також є підпростором простору .

Розмірність підпростору  називається дефектом оператора. Розмірність підпростору  називається рангом оператора . Для рангу оператора  використовується одне з позначень  або , для позначення дефекту оператора використовується символ .

Теорема 2.4. Для будь-якого лінійного оператора  із сума розмінностей його ядра і образу дорівнює розмірності простору , тобто або .

Теорема 2.5. Нехай  і - два яких-небудь підпростори - мірного простору , причому . Тоді існує такий лінійний оператор , що , а .

Доведення. Нехай - розмірність підпростору , тобто , а  – розмірність підпростору . За умовою теореми . Виберемо базис - мірного простору  так, щоб  векторів  було базисом підпростору . В підпросторі  візьмемо який-небудь базис . Розглянемо лінійний оператор , який перетворює вектори простору  у вектори , а кожний з векторів у нульовий вектор, тобто .

Оператор  довільний вектор  простору  приводить у вектор  , який належить підпростору  простора . Звідси випливає, що , тобто підпростір  містить образ оператора . Щоб довести, що , треба за означенням множини  показати, що будь-який вектор  підпростору , має прообраз у просторі . Розглянутий лінійний оператор  перетворює вектори  простору  у вектори , тому довільно взятий вектор  підпростору  можна представити у вигляді . В силу лінійності оператора и також того, що , вектор  можна представити також і в такій формі:  , де  – довільно вибрані комплексні числа. Останній вираз для довільного вектору  означає, що він є образом вектора  простору . Таким чином, .

Покажемо тепер, що підпростір  є ядром оператора . Нехай  який-небудь вектор підпростору . Так як , то це означає, що вектор  входить в ядро оператора . Звідси випливає, що підпростір . Для доведення того, що треба показати, що будь-який вектор  простору , що не належить підпростору , не може бути елементом ядра оператора . Нехай - вектор простору , який не належить підпростору . Зрозуміло, що хоча б одна із координат  цього вектору не рівна нулю, так як в протилежному випадку . Розглянемо . Так як  лінійно незалежні вектори, а серед чисел  є відмінні від нуля, то . Це означає, що будь-який вектор, що не належить підпростору , не належить і ядру оператора . Отже, .

Теорема 2.6. Нехай  і  – два яких-небудь лінійних оператора із множини , тоді , .

Доведення. Нехай  – довільний вектор простору . Зрозуміло, що . Будь-який вектор  множини  за означенням добутку операторів це вектор . Останній є вектором множини . З цього слідує, що має місце включення . А це означає, що , тобто . Перше твердження теореми доведено.

Доведемо справедливість другого. Нехай  – довільний вектор ядра оператора , тоді , і, тому, . Це означає, що якщо , то , тобто . Звідси випливає нерівність . Позначимо через  розмірність простору . Згідно теореми 2.4 , . Так як , то , тобто .

Теорема 2.7. Нехай  – розмірність простору ,  і  – лінійні оператори із , тоді .


3.                Матриця лінійного оператора

 

Нехай - деякий базис лінійного простору , а  – який-небудь лінійний оператор, діючий із  в . Вектор  оператор  перетворює в вектор . Вектори  простору  розкладемо по векторах базису  цього простору. Побудуємо матрицю  порядку , стовпці якої складені із координат векторів ,


, , .


Матриця  називається матрицею оператора  в базисі .

Приклад. Записати матрицю тотожного і нульового операторів у базисі  простору .

Розв’язок. Тотожний оператор  будь-який вектор простору  приводить в той же самий оператор. Тому . А це означає, що матриця  тотожного оператора буде одиничною в будь-якому базисі простору . Нульовий оператор  будь-який вектор простору  перетворює в нульовий вектор, тому матриця  цього оператора – нульова в будь-якому базисі.

Із сказаного вище випливає, що в обраному базисі -мірного простору  з кожним лінійним оператором  можна зв’язати квадратну матрицю  порядку . Виникає питання: чи можна кожній квадратній матриці  порядку  поставити у відповідність такий лінійний оператор , матриця якого в заданому базисі  простору  співпадає з матрицею ? Стверджувальну відповідь на це питання дає

Теорема 3.1. Нехай  – деяка квадратна матриця порядку . Нехай  – довільний обраний базис -мірного лінійного простору . Тоді існує єдиний лінійний оператор , який у вказаному базисі має матрицю .

Страницы: 1, 2


© 2010.