рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)  

Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

Д.А. Ланин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа

Пусть  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)- вещественная алгебра Ли, G - группа Ли с алгеброй  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Выпуклый замкнутый острый телесный конус  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)в алгебре  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), инвариантный относительно действия группы  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), будем называть инвариантным конусом. Среди всех таких конусов есть минимальный. Если  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)- инвариантный конус, то множество  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)оказывается замкнутой комплексной полугруппой (см. [1,2]) и называется полугруппой Ольшанского. Будем рассматривать группу G, алгебру  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)и полугруппу Ольшанского в матричной реализации. Под внутренней функцией на полугруппе Ольшанского  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)будем понимать голоморфную ограниченную рациональную (от матричных элементов) функцию без особенностей на границе, равную по модулю единице на группе G. Степень рациональной внутренней функции определим как максимум степеней числителя и знаменателя. Наша задача состоит в нахождении свойств внутренних функций на полугруппах Ольшанского над группой SU(p,q). Сходные вопросы рассматриваются в работах [3,4]. В [3] дано полное описание рациональных внутренних функций на поликруге. Этот результат распространен на произвольные ограниченные симметрические области в [4].

Через  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)обозначим инволюцию, выделяющую группу  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)в группе  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q).

В настоящей работе получены следующие результаты:

Теорема 1. Каждая рациональная внутренняя функция на полугруппе л имеет вид  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)где f(X) - многочлен от элементов матрицы X, а |C|=1.

Теорема 2. В случае минимального конуса степень рациональной внутренней функции на полугруппе Ольшанского над группой SU(p,q) не меньше, чем  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), причем эта оценка точная.

1. Основные понятия и обозначения

1.1. Говоря о блочной матрице  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), будем подразумевать, что A имеет размеры  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), а D -  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Пусть  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), где  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Тогда

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

Положим  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), т.е.  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)- инволюция, выделяющая группу  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)в группе  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Если f(A) - многочлен от матричных элементов  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), то  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)также будет многочленом от  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q).

1.2. Поскольку  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)- инвариантный,  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)можно представить в виде

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

Поэтому,  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q).

1.3. Пусть известно, что значения двух многочленов F(A) и H(A) от элементов  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)матрицы A совпадают при  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Эти многочлены не обязательно равны, и мы будем называть их эквивалентными. Класс эквивалентности, в котором лежит многочлен P, будем обозначать [P].

Определение. Будем говорить, что [P] и [Q] взаимно просты, если для любых  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)и  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)многочлены  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)и  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)не имеют общих нетривиальных ( Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)) множителей.

Определение. Степенью рациональной функции  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)будем называть  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), где  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), причем [P1] и [Q1] - взаимно просты, а P1 и Q1 имеют минимальную степень.

Корректность последнего определения гарантируется следующим фактом ([5]):

Теорема 3. В кольце многочленов на односвязной полупростой алгебраической группе разложение на простые множители однозначно.

2. Доказательство теоремы 1

Нам понадобится теорема Боголюбова об острие клина (см. [6]). Приведем ее формулировку в удобной для нас форме.

Теорема 4. Пусть  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)- область в  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), C - конус в  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Пусть в локальных трубах  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)заданы функции  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), голоморфные и ограниченные в соответствующих областях, а их граничные (предельные) значения совпадают на  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Тогда существует комплексная окрестность  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)области  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), и функция f, голоморфная и ограниченная в  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), совпадающая с  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)в  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q).

В нашем случае  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)будет некоторой окрестностью в su(p,q), а  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)будет соответствующей окрестностью в  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Пусть внутренняя функция имеет вид  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), где (без ограничения общности) P(A), Q(A) - многочлены от элементов матрицы A такие, что [P] взаимно просто с [Q]. Пусть теперь  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Тогда  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)(см. (1.2)). Положим  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), и  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Ввиду голоморфности экспоненциального отобpажения эти функции будут удовлетворять условиям теоремы 4. Отсюда в комплексной окрестности любой точки  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q) Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). А значит и для любой матрицы  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)имеем  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), или если ввести обозначения  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)и  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), то

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

Поскольку [P] и [Q] предполагаются взаимно простыми, то, в соответствии с теоремой 3,  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)должно делиться на [Q], т.е.

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

Из (1) и (2) получаем, что

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

Заменив в (2) и (3) матрицу A на  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)и перейдя к комплексно сопряж"нным выражениям, обнаруживаем, что

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

То есть нам удалось выделить общий множитель из двух многочленов, принадлежащих взаимно простым классам эквивалентности [P] и [Q]. Значит, этот множитель  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)тривиален, т.е.  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), из чего следует, что  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Таким образом,  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), где C - некоторая константа. Однако если  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), то

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

3. Доказательство теоремы 2

Пусть G=SU(p,q),  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)=su(p,q) ,  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)- е" подалгебра Картана,  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)- минимальный инвариантный конус. Тогда:

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

Пусть  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)- внутренняя функция, такая, что степени многочленов P и Q минимальны.

1) Если  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), то положим

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

Заметим, что функция F принимает значение ноль в какой-то точке единичного круга  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Действительно, если предположить противное, то функция  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)будет аналитической в  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), в частности  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)в  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)(по принципу максимума модуля). С другой стороны,  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Поэтому |F|=1, что противоречит многомерному принципу максимума модуля, поскольку ограниченная функция  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)не может принимать значение, равное по модулю единице, во внутренней точке полугруппы л (рассматриваемой как область в  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)).

Заметим также, что внутренним автоморфизмом можно непрерывно перевести Ak1l1(z) в Ak2l2(z), а, значит, и A(z) в B(z). Далее, поскольку интеграл

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

есть целое число (равное числу нулей функции Fkl, ввиду ее аналитичности), и подынтегральная функция меняется непрерывно при переходе от матрицы Ak1l1(z) к Ak2l2(z), получаем, что этот интеграл имеет одно и то же значение для любых k и l. Точно так же будут совпадать интегралы  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)и  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Если  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), то  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), т.к. B(z)=A11(zq).

Поскольку функция F имеет ноль внутри единичного круга,  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Значит, рациональная функция F имеет по крайней мере q нулей в  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). А это говорит о том, что степень многочлена P, стоящего в числителе  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), не меньше, чем q.

2) Если p>q, то оценим степень  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)через степень многочлена Q. Имеем:  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)(см. (1.2)). Положив

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

и повторив вышеприведенные рассуждения с учетом того, что  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), получим следующую оценку:  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Таким образом,  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Докажем теперь, что указанная оценка достигается.

Предложение. Пусть  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Тогда функция  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)имеющая степень p, является внутренней на полугруппе Ольшанского над группой SU(p,p).

Доказательство.Пусть Z - квадратная матрица размером  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Тогда для матрицы X соответствующее ей отобpажение  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)является аналитическим автоморфизмом области  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Здесь E - единичная матрица размером p. Границей области  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)является множество  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), которое разбивается на компоненты, различающиеся рангом матрицы (E-Z*Z), причем отображение  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)ранг этой матрицы не меняет (см. [7]). Поэтому  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)и при  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

Осталось доказать ограниченность модуля функции  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)на полугруппе Ольшанского. Каждая матрица  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)представляется в виде  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), где  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q), а  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Поэтому  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q). Отсюда

 Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

где Z=P(K+L)(M+N)-1Q-1. Заметим, что отображение (CZ+D)(AZ+B)-1 преобразует область E-Z*Z<0 в область E-Z*Z>0 и наоборот. Поэтому, чтобы доказать ограниченность Ф(X), достаточно показать, что E-Z*Z<0, т.е. что все собственные числа матрицы Z*Z больше или равны единице. А это действительно так ввиду того, что диагональные матрицы P и Q-1 состоят из чисел, больших или равных единице, а матрица (K+L)(M+N)-1 унитарная.

Для матриц из SU(p,q) при p>q требуемый пример получается ограничением указанной функции  Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)на группу SU(p,q).

Список литературы

Ol'shanski Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q) G.I. Invariant cones in Lie algebras, Lie semigroups, and the holomorphic discrete series // Funct. Anal. Appl. 15 (1982), 275-285.

Lawson J.D. Semigroups of Ol'shanski Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q) type // <<Semigroups in algebra, geometry and analysis>>/ ed. Karl H. Hofmann... - Berlin; New York : de Gruyter, 1995.

Рудин У. Теоpия функций в поликруге. М.: Миp, 1974.

Koranyi A., Vagi S. Rational inner functions on bounded symmetric domains // Trans. Amer. Math. Soc., 254 (1979), 179-193.

Попов В.Л. Группы Пикара однородных пространств // Известия АН СССР. Сер. математическая. Т. 38. ò2. Март-апрель (1974). С. 296.

Владимиров В.С., Сергеев А.Г. Комплексный анализ в трубе будущего // Соврем. проблемы математики. Фунд. направления. Т. 8 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М.: 1985, С.191-266.

Пятецкий-Шапиро И.И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/




© 2010.