рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Вычисление случайных величин  

Вычисление случайных величин

Задача №1.


Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:




где S – площадь треугольника ABC.

Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

Решение.

Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия


 или


следует, что

Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):


Вычислим плотность составляющей X:

при ,

откуда плотность составляющей X –



Вычислим плотность составляющей Y:

при ,

при ,

Поэтому плотность составляющей Y –



Найдем условную плотность составляющей X:

при ,  случайные величины X и Y зависимы.

Найдем математическое ожидание случайной величины X:



Найдем дисперсию случайной величины X:



Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:



Найдем математическое ожидание случайной величины Y:




Найдем дисперсию случайной величины Y:



Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:



Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):



Тогда ковариация: ,

а значит и коэффициент корреляции

Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.


Задача №2


Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:


Y

X

3

6

8

9

-0,2

0,035

0,029

0,048

0,049

0,1

0,083

0,107

0,093

0,106

0,3

0,095

0,118

0,129

0,108


Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.

Решение.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:

X

3

6

8

9

0,213

0,254

0,270

0,263



Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:


Y

-0,2

0,1

0,3

0,161

0,389

0,450




Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.

Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.

1. Математическое ожидание случайной величины X:


2.


Математическое ожидание случайной величины Y:



3. Дисперсия случайной величины X:



4. Дисперсия случайной величины Y:



5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:



6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:



Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):

X-M(X)

3-M(X)

6-M(X)

8-M(X)

9-M(X)

0,213

0,254

0,270

0,263


Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):

Y-M(Y)

-0,2-M(Y)

0,1-M(Y)

0,3-M(Y)

0,161

0,389

0,450


Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:

[X-M(X)][Y-M(Y)]

1,260873

0,153873

P

0,035

0,083


-0,584127

0,235773

0,028773

-0,109227

-0,447627

0,095

0,029

0,107

0,118

0,048


-0,054627

0,207373

-0,789327

-0,096327

0,365673

0,093

0,129

0,049

0,106

0,108


1.                

2.                

3.                

4.                

5.                

6.                

7.                

8.                

9.                

10.           

11.           

12.           


Найдем ковариацию:


Найдем коэффициент корреляции:



Ответ: -0,028.


Задача №3

Рост, см

(X)

Вес, кг (Y)

22,5-25,5

25,5-28,5

28,5-31,5

31,5-34,5

34,5-37,5

117,5-122,5

1

3

-

-

-

122,5-127,5

-

2

6

1

-

127,5-132,5

-

1

5

5

-

132,5-137,5

-

1

6

7

2

137,5-142,5

-

-

1

4

2

142,5-147,5

-

-

-

1

1

147,5-152,5

-

-

-

-

1


Результаты обследования 50 учеников:

По данным таблицы требуется:

§     написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;

§     вычертить их графики и определить угол между ними;

§     по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.

Решение.

Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:

Для роста X получим:

1. Выборочная средняя



2. Дисперсия выборочная исправленная –



Для веса Y получим:

1.     Выборочная средняя -


2.     Дисперсия выборочная исправленная –


Найдем выборочный коэффициент корреляции:



Найдем значения коэффициентов регрессии:



Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:



Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:



 - угол между прямыми регрессии.


 


Следовательно, связь между X и Y не тесная.




© 2010.