рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси  

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Абзалимов Р.Р.

В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосизаменяется на  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.

I. Регулярная задача

Рассмотрим следующую краевую задачу:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                   (1.1)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                    (1.2)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                    (1.3)

Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.4)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

с граничными условиями

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.5)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.6)

где

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                              (1.7)

Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси удовлетворяет так называемым условиям сопряжения

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                                              (1.8)

В каждом интервале  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси решения  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосиуравнения (1.4) имеют вид:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                            (1.9)

Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                  (1.10)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                            (1.11)

Из первого краевого условия получаем зависимость  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси от  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                                         (1.12)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси выписывается явно.

Пусть  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные значения и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

и пусть Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные значения задачи (1)-(3) и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                        (1.13)

Заметим прежде, что  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                               (1.14)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                        (1.15)

Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Представим ее в виде

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                (1.16)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Применяя метод последовательных приближений, получаем:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                       (1.17)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - решения уравнения (1.4).

Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).

Из (1.15) нетрудно установить неравенство:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                           (1.18)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда имеет место следующее равенство:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                               (1.19)

при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.

Следствие 1.1  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Следствие 1.2  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6),  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).

Следствие 1.3  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосисовпадают со всеми корнями уравнения  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Следствие 1.4  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси образуют полную систему собственных функций.

II. Сингулярная задача. Случай  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                     (2.1)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                     (2.2)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. В случае, когда  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси; таким образом, для каждого  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Если бы мы знали все значения собственных функций  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, соответствующие собственным числам  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосизадачи на полуоси, в точке  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, то, решая задачи на конечном промежутке  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси с дополнительным граничным условием  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси (условие Дирихле) и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси (условие Неймана). Пусть  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:

ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                         (2.3)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси[1] .

Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.

ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                                        (2.4)

Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.

Замечание В случае полуограниченного оператора ( Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.

Следствие 2.1  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - длина промежутка  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Пример

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Известно, что  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосивычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

III. Сингулярная задача. Случай  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                  (2.1)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                  (2.2)

Имеет место следующая (см. [3])

ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосиудовлетворяет следующим условиям

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси , при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси сохраняет знак для больших  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда спектр оператора  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосии  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чисел  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси заменяется на  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси) стремится к нулю при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая

ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на конечном промежутке  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси с дополнительным краевым условием  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, то справедливо равенство  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси для всех  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).

Замечание 2 Для расчета собственных чисел  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси задачи (2.1)-(2.2), промежуток  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси заменяется на  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - достаточно большое положительное число, с краевыми условиями  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

IV. Сингулярная задача. Случай  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                   (3.1)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                                   (3.2)

с дополнительными условиями:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси голоморфна в точке  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, причем  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси монотонно, и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательность  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси с единственной предельной точкой  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, а собственные функции  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, отвечающие собственным значениям  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, имеют в интервале  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси в точности  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси нулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.

Пример

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси .

Известно (см. [3]), что  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные числа.

Введем обозначения:  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - приближенные собственные числа, полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - приближенные собственные числа, полученные методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3), можно показать (достаточно грубая оценка), что

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси вычисляется явно. Для более точной асимптотики необходимо точно решить уравнение

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

n



© 2010.