рефераты бесплатно
Рефераты бесплатно, курсовые, дипломы, научные работы, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения,рефераты литература, рефераты биология, рефераты медицина, рефераты право, большая бибилиотека рефератов, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент и многое другое.
ENG
РУС
 
рефераты бесплатно
ВХОДрефераты бесплатно             Регистрация

Вычисление пределов функций, производных и интегралов  

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Содержание

Задание № 1

Задание № 2

Задание № 3

Задание № 4

Задание № 5

Задание № 7

Задание № 8

Задача № 4

Задача № 5

Задача № 6

Список литературы

Задание № 1

3. б) Найти пределы функции:



Решение

Одна из основных теорем, на которой основано вычисление пределов:

Если существуют


 и , то:


Следовательно:



Ответ: предел функции



Задание № 2


3. б) Найти производную функции:


Решение

Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций:

Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда



Применим это правило к заданной функции:


Ответ:


Задание № 3


3. Исследовать функцию и построить ее график:



Решение

1.     Найдем область определения функции:


D(y)=R


2.     Исследуем функцию на четность и нечетность, на периодичность.

Условие четности: f(x)=f(-x)

Условие нечетности: f(-x)=-f(x)

при x=1: y=0

при x=-1: y=-4

Условия не выполняются, следовательно, функция не является четной и нечетной.

Периодической называется такая функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа – периода функции.

Функция


 


не периодична.

3.     Найдем промежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков.


y=0 при

;


Следовательно, имеем три промежутка:



Определим знак на каждом промежутке:

при x= -1 y=-4 < 0

при x= 0,5 y=0,125 > 0

при x= 2 y=2 > 0

Тогда: для

, для


Рассмотрим поведение функции на концах промежутков:



4.     Найдем промежутки монотонности функции, ее экстремумы.

Найдем производную функции:


 

при

,  


- точки экстремума, они делят область определения функции на три промежутка:


Исследуемая функция в промежутке


 – возрастает

 – убывает

 - возрастает

5.     Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:


 при  - точка перегиба

Для


 ,


следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вверх.

Для


 ,


следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вниз.


6.     По полученным данным построим график функции.

Рис. 3 График функции


Задание № 4

Найти интеграл:


3.


Решение

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:


F(x) + C.


Записывают:


Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки:


Ответ: .


Задание № 5


Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделать чертеж.


, , , .


Решение.

Построим график функции:

при х=-2: y = 12

при х=-1: y = 5

при х=0: y = 0

при х=1: y = -3

при х=2: y = -4

при х=3: y = -3

при х=4: y = 0

при х=5: y = 5


Рис. 1 График


Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:


 


Определим площадь полученной фигуры через определенный интеграл:


 кв. ед.


Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными линиями = 13 кв. ед.

Задание № 7.


Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:


,  при


Решение

Общий вид дифференциального уравнения:

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция  от переменной x и произвольной постоянной C, обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Решение, полученное из общего при фиксированном значении С: , где  - фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях , называется частным решением, или решением задач Коши.

Найдем общее решение или общий интеграл:


 -


общее решение дифференциального уравнения

Найдем частное решение для  при


Получаем:

Ответ:  - любое число.

Задание № 8


Найти вероятность случайного события.

Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка»?

Решение.

Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.


..................................................................................................................

Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа – событие А, выпадение «шестерки» – событие В. На игральной кости шесть граней, очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной – «шестерка».

Тогда в соответствии с записанными выше формулами получаем:


 .


Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числа равна ;

2. вероятность выпадения «шестерки» равна .

Методы вычислений и ЭВМ

Задача № 4.


Внедрение автоматизированного способа обработки информации снизило расходы на ее обработку с 238200 руб. до 50175 руб. Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК.


Решение:

Схема решения

Алгоритм

Результат

238200 – 100 %

50175 – х %

21,064 %


Задача № 5


Расходы на перевозку почты во II квартале уменьшились на 2,5 % по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на 2,9 % по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1 % по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1 %, как изменились расходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональный алгоритм вычислений на МК.

Решение:

По условию задачи задано последовательное изменение начального показателя N=100 процентов на


Р1=2,5 %, Р2=2,9 %, Р3= 3,1 %.


Тогда:

Nn = 100(1-2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) = 100(1-0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4 %


Алгоритм выполнения этого вычисления на МК:


100 – 2,5 % + 2,9 % + 3,1 %


Задача № 6


Бригаде монтажников за месяц начислено 16713 руб. Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующим данным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решение задачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01 руб.


Табельный номер

Часовая тарифная ставка, руб

Отработано часов

К оплате, руб

03

6,6

165


04

8,8

72


05

7,5

216



Алгоритм решения на МК:


6,6 * 165 М+

8,8 * 72 М+

7,5 * 216 М+

16713 / MR MR * 1089 = М+

 C C 633,6 = М+

 1620 = М+ MR

 C

Решение задачи с помощью табличного процессора Excel:


1.     Ввод названий граф документа:

Адрес клетки

Вводимая строка

А1

Табельный номер

А2

03

А3

04

А4

05

В1

Начислено, руб. (всего)

С1

Часовая тарифная ставка, руб.

D1

Отработано часов

Е1

К оплате, руб.


2.     Ввод исходных данных:

Адрес ячейки

Исходные данные

В2

16713

С2

6,6

С3

8,8

С4

7,5

D2

165

D3

72

D4

216


3.     Ввод расчетных формул:

Адрес ячейки

Исходные данные

F2

С2*D2

F5

=СУММ(F2:F4)

E2

$B$2/$F$5*F2

E5

=СУММ(Е2:Е4)


4.     Конечный результат:

Табельный номер

Начислено, руб. (всего)

Часовая тарифная ставка, руб.

Отработано часов, ч.

К оплате, руб.

Ставка, руб.

03

16713

6,6

165

5445,00

1089,00

04


8,8

72

3168,00

633,60

05


7,5

216

8100,00

1620,00





16713,00

3342,60


Список литературы

1.     Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2005. – 991 с.

2.     Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. – Минск. ТетраСистемс, 2004. – 640 с.

3.     Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998. – 479 с.

4.     Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2. М. 2005. – 517 с.

5.     Пономарев К.К. Курс высшей математики. Ч. 2. – М.: Инфра-С, 1974. – 520 с.




© 2010.